この項目では、微分幾何学におけるバンドル構造について説明しています。束 (lattice) を成す順序ベクトル空間としての「ベクトル束」については「リース空間」をご覧ください。
メビウスの帯は1-球面 S1 上の直線束である。局所的に S1 上の各点の周りでは U × R に見えるが、大域的に束全体を見れば S1 × R（これは円筒に同相）とは明らかに異なる。

数学において、ベクトル束（べくとるそく、英: vector bundle; ベクトルバンドル）は、ある空間 X（例えば、X は位相空間、多様体、代数多様体等）により径数付けられたベクトル空間の族を作るという方法で与えられる幾何学的構成である。
導入

空間 X 上のベクトル束（ベクトルバンドル）とは、X の各点 x にベクトル空間 V(x) を対応させた（というよりは「貼り付けた」("attach")）とき、それらが「うまく貼り合わされて」もとの X と同種の空間（例えば、位相空間、多様体、代数多様体等）を成すようなものである（「バンドル」は一まとめに束ねたものの意）。

最も単純な例は、貼り合せるベクトル空間の族が一定の（つまり固定したベクトル空間 V により、すべての x ∈ X に対し V(x) = V となる）場合である。このとき、各点 x ∈ X に対応する V の複写の全体が貼り合わされて X 上のベクトル束 X × V ができる。この様なベクトル束は自明であると言われる。

より複雑（かつ原型的）な例の一つのクラスは、滑らかな多様体（可微分多様体）の接束である。これは多様体 M の各点 x ∈ M に、その点での接空間 TxM を付随させたものである。接束は一般には自明束ではない。たとえば、二次元球面の接束は毛玉の定理（英語版）により自明ではない。一般に、多様体の接束が自明となることを「多様体は平行化可能 (parallelizable) である」と言い表す。

ベクトル束は殆ど常に局所的に自明である必要があるが、これはベクトル束が、ベクトル空間をファイバーとするファイバー束（ファイバーバンドル）であることを意味する。また、ベクトル空間として実数体または複素数体上のベクトル空間を考えるのが普通であり、そのようなベクトル束は、それぞれ実ベクトル束または複素ベクトル束と呼ばれる。複素ベクトル束を、付加構造を備えた実ベクトル束として見ることもできる。以下では、位相空間の圏における実ベクトル束に焦点を絞って議論する。
定義および定義からただちに証明されること

実ベクトル束は、
底空間（ていくうかん、base space）と呼ばれる位相空間 X および全空間（ぜんくうかん、total space）と呼ばれる位相空間 E

束射影（そくしゃえい、bundle projection）あるいは単に射影と呼ばれる連続写像 π: E → X

任意の x ∈ X に対し、ファイバー π−1({x}) に与えられた実ベクトル空間としての構造

の組であって（ただし、紛れのおそれの無い場合には束射影の記号で代表して、ベクトル束 π: E → X あるいは全空間で代表してベクトル束 E のように呼ぶ）、以下の整合性条件：

任意の x ∈ X に対し、開近傍 U, 正整数 k, 同相写像 ϕ : U × R k → π − 1 ( U ) {\displaystyle \phi \colon U\times \mathbb {R} ^{k}\to \pi ^{-1}(U)}

が存在し、任意の y ∈ U に対して、

任意の v ∈ Rk に対して π(φ(y, v)) = y かつ

写像 R k → π − 1 ( y ) ; v ↦ ϕ ( y , v ) {\displaystyle \mathbf {R} ^{k}\to \pi ^{-1}(y);\,v\mapsto \phi (y,v)} はベクトル空間の同型写像である。

を満たすものである。開近傍 U に同相写像 φ を考え合わせたものを、ベクトル束の局所自明化 (local trivialisation) という。局所自明化によって、写像 π が「局所的に見れば」 U × Rk から U の射影である「かのようにみえる」ということが表されている。

任意の x ∈ X に対し、ファイバー π−1(x) は有限次元の実ベクトル空間であり、従って実ベクトル空間としての次元 kx を有する。局所自明性により、関数 X → N ; x ↦ k x {\displaystyle X\to \mathbf {N} ;\,x\mapsto k_{x}} は局所定数であり、従って X の各連結成分の上では一定である。任意の x ∈ X に対し、kx が定数 k に等しいとき、k をベクトル束 E の階数（かいすう、rank）といい、E は階数 k のベクトル束であるという。階数 1 のベクトル束は、直線束 (line bundle) と呼ばれる。階数 2 のベクトル束は稀に平面束 (plane bundle) とも呼ばれる。

直積 X × Rk に自然な射影 X × Rk → X を考えたものはベクトル束であり、X 上の階数 k の自明束（じめいそく、trivial bundle）という。
座標変換式

階数 k のベクトル束 E → X と、近傍の対 U, V にそれぞれの局所自明化 φ U : U × R k → ≅ π − 1 ( U ) , φ V : V × R k → ≅ π − 1 ( V ) {\displaystyle \varphi _{U}\colon U\times \mathbb {R} ^{k}{\stackrel {\cong }{{}\to {}}}\pi ^{-1}(U),\quad \varphi _{V}\colon V\times \mathbb {R} ^{k}{\stackrel {\cong }{{}\to {}}}\pi ^{-1}(V)}

が与えられているとき、U ∩ V 上で合成写像 φ V − 1 ∘ φ U : ( U ∩ V ) × R k → ( U ∩ V ) × R k {\displaystyle \varphi _{V}^{-1}\circ \varphi _{U}\colon (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}\to (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}}

は矛盾無く定まり、 φ V − 1 ∘ φ U ( x , v ) = ( x , g U V ( x ) v ) {\displaystyle \varphi _{V}^{-1}\circ \varphi _{U}(x,v)=(x,g_{UV}(x)v)}