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出典検索?: "ヘロンの公式" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2023年12月）
△ABC に対して、頂点の対辺の長さは、頂点と同じアルファベットの小文字で表す。

ヘロンの公式（ヘロンのこうしき、英: Heron's formula, Hero's formula）とは、3辺の長さが a, b, c などと分かっている三角形の面積 S を求める公式のことである。

アレクサンドリアのヘロンが彼の著書『Metrica』の中で証明を与えていることから彼に帰せられる[1]。
概要

この公式はアレクサンドリアのヘロンが彼の著書『Metrica』の中で証明を与えていることから彼に帰せられるが、現代ではこれ自体はシラクサのアルキメデスにも既知であったと考えられていて、さらにそれ以前から知られていた可能性もある。

一般化として、円に内接する四角形の面積を辺の長さから求めるブラーマグプタの公式があり、さらには円に内接するという条件を外し、角度も用いて四角形の面積を求めるブレートシュナイダーの公式がある。ヘロンの公式はこれらの公式の特別な場合となっている。

しかし、円に内接するn角形について面積を、その辺の長さから四則演算とk乗根をとる操作によって求める代数的な公式は n ? 5 では存在しないことが知られている[2]。
公式

ヘロンの公式 ― 3辺の長さが a, b, c である三角形の面積 S は S = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}

ただし s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}

また、以下のような s を用いない表記もある。 S = ( a + b + c ) ( − a + b + c ) ( a − b + c ) ( a + b − c ) 4 {\displaystyle S={\frac {\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}{4}}} S = 2 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 ) 4 {\displaystyle S={\frac {\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}{4}}} S = ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) 4 {\displaystyle S={\frac {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}{4}}} S = 4 b 2 c 2 − ( a 2 − b 2 − c 2 ) 2 4 {\displaystyle S={\frac {\sqrt {4b^{2}c^{2}-(a^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}}{4}}}
証明
三角関数を用いた証明

三角比、余弦定理、因数分解を用いた証明。

△ABC において、A, B, C の対辺 BC, CA, AB の長さをそれぞれ a, b, c とし、A から辺 BC に下ろした垂線の長さを h とする。

このとき△ABCの面積 S は、 S = a h 2 = a b 2 sin ⁡ C = a b 2 1 − cos 2 ⁡ C = a b 2 ( 1 + cos ⁡ C ) ( 1 − cos ⁡ C ) = a b 2 ( 1 + a 2 + b 2 − c 2 2 a b ) ( 1 − a 2 + b 2 − c 2 2 a b ) = a b 2 a 2 + 2 a b + b 2 − c 2 2 a b ⋅ − ( a 2 − 2 a b + b 2 − c 2 ) 2 a b = ( a + b ) 2 − c 2 4 ⋅ − [ ( a − b ) 2 − c 2 ] 4 = ( a + b + c ) ( a + b − c ) 4 ⋅ − ( a − b + c ) ( a − b − c ) 4 = a + b + c 2 ⋅ − a + b + c 2 ⋅ a − b + c 2 ⋅ a + b − c 2 = a + b + c 2 ( a + b + c 2 − a ) ( a + b + c 2 − b ) ( a + b + c 2 − c ) {\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {ah}{2}}={\frac {ab}{2}}\sin C={\frac {ab}{2}}{\sqrt {1-\cos ^{2}C}}\\&={\frac {ab}{2}}{\sqrt {(1+\cos C)(1-\cos C)}}\\&={\frac {ab}{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\left(1-{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)}}\\&={\frac {ab}{2}}{\sqrt {{\frac {a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\cdot {\frac {-(a^{2}-2ab+b^{2}-c^{2})}{2ab}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(a+b)^{2}-c^{2}}{4}}\cdot {\frac {-[(a-b)^{2}-c^{2}]}{4}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(a+b+c)(a+b-c)}{4}}\cdot {\frac {-(a-b+c)(a-b-c)}{4}}}}\\&={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\cdot {\frac {-a+b+c}{2}}\cdot {\frac {a-b+c}{2}}\cdot {\frac {a+b-c}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\left({\frac {a+b+c}{2}}-a\right)\left({\frac {a+b+c}{2}}-b\right)\left({\frac {a+b+c}{2}}-c\right)}}\end{aligned}}}