ヘルマン?ファインマンの定理（ヘルマン?ファインマンのていり、英: Hellmann?Feynman theorem）とは、量子力学において、パラメータ依存したハミルトニアンとそのエネルギー固有値に関する定理である。量子化学および数理固体物理学において特にヘルマン?ファインマン力（ヘルマン?ファインマンりょく、英: Hellmann?Feynman force）の計算に応用され、重要である。定理の名は、ドイツの物理学者H. ヘルマン（英語版）と米国の物理学者R. P. ファインマンに因む。定理を最初に明示的な形で表したのは、P. Guttingerであるが[1]、W. パウリやヘルマンの論文にも記されている[2][3]。特にヘルマンは分子への適用に向けて、変分形式で表現した。また、1939年に当時、マサチューセッツ工科大学の学生であったファインマンは、この定理を示すともに、化学結合した原子において、電子及び他の原子核が原子核に及ぼす力は古典的な静電力として、扱えることを示した[4]。「ヘルマン?ファインマンの定理」の名が定着したのは、J. C. スレイターがその著書の中でその名で呼んだことによる[5][6]。
定理

系のハミルトニアンが、あるパラメータ λ に依存するとして、それを ˆH(λ) と表現する。 ˆH(λ) の固有状態 |ψλ⟩ があって、 ˆH(λ)|ψλ⟩=E(λ)|ψλ⟩ 及び規格化条件 ⟨ψλ|ψλ⟩=1 が満足されるとする。このとき、 d E ( λ ) d λ = ⟨ ψ λ 。 d H ^ ( λ ) d λ 。 ψ λ ⟩ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E(\lambda )}{\mathrm {d} \lambda }}=\left\langle \psi _{\lambda }\left|{\frac {\mathrm {d} {\hat {H}}(\lambda )}{\mathrm {d} \lambda }}\right|\psi _{\lambda }\right\rangle }

が成り立つ。これがヘルマン?ファインマンの定理の主張である。

ここで、パラメータ λ が、原子位置座標 Rα の場合、ヘルマン?ファインマン力となる。
証明

d E ( λ ) d λ = d d λ ⟨ ψ λ 。 H ^ ( λ ) 。 ψ λ ⟩ = ( d d λ ⟨ ψ λ 。 ) H ^ ( λ ) 。 ψ λ ⟩ + ⟨ ψ λ 。 d H ^ ( λ ) d λ 。 ψ λ ⟩ + ⟨ ψ λ 。 H ^ ( λ ) ( d d λ 。 ψ λ ⟩ ) = E ( λ ) ( d d λ ⟨ ψ λ 。 ) 。 ψ λ ⟩ + ⟨ ψ λ 。 d H ^ ( λ ) d λ 。 ψ λ ⟩ + E ( λ ) ⟨ ψ λ 。 ( d d λ 。 ψ λ ⟩ ) = E ( λ ) d d λ ⟨ ψ λ 。