プロス数（プロスすう、英: Proth number）とは、以下の制約を満たす式で表される自然数 N {\displaystyle N} のことである。プロス数の名は、19世紀フランスの数学者 フランソワ・プロス
（英語版） にちなんで付けられた。 N = k ⋅ 2 n + 1 {\displaystyle N=k\cdot 2^{n}+1}※ 制約3が無い場合、1より大きなあらゆる奇数がこの式から生まれてしまう[1]。
プロス数の最初の数項は3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241,… (オンライン整数列大辞典の数列 A080075)
である。
カレン数 (n・2n+1) や フェルマー数 (22n+1) は、プロス数の特殊なケースと考えることもできる。 プロス素数（プロスそすう、英: Proth prime）とは、素数であるプロス数のことである[2]。 プロス素数の最初の数項は3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857, …(オンライン整数列大辞典の数列 A080076
プロス素数
である。プロス素数は無数にあると予想されているが、証明されていない。
プロスの定理（英語版）を用いて、プロス数が素数であるか否かの判定を行うことができる[3]。 p {\displaystyle p} をプロス数とする。以下の合同式を満たす整数 a {\displaystyle a} があれば、 p {\displaystyle p} はプロス素数である。なければ、プロス素数でない。 a ( p − 1 ) / 2 ≡ − 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{(p-1)/2}\equiv -1{\pmod {p}}}
すなわち、 a ( p − 1 ) / 2 {\displaystyle a^{(p-1)/2}} に1を加えた数が p {\displaystyle p} で割り切れるよう、 a {\displaystyle a} を探せばよい。
2016年現在[update]、発見済みである最大のプロス素数は 10223×231172165 + 1 であり、9,383,761桁の大きさを持つ[4]。これが素数であることは PrimeGrid プロジェクトの Peter Szabolcs によって導き出された事が2016年11月6日に発表された[5]。この数は、メルセンヌ素数でないような既知の最大の素数でもある[6]。
関連項目
シェルピンスキー数
ピアポン素数
PrimeGrid - 巨大なプロス素数を探す分散コンピューティングプロジェクト
脚注^ .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}Weisstein, Eric W. "Proth Number". mathworld.wolfram.com (英語).
^ Weisstein, Eric W. "Proth Prime". mathworld.wolfram.com (英語).
^ Weisstein, Eric W. "Proth's Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
^ Chris Caldwell, ⇒The Top Twenty: Proth, from The en:Prime Pages.
^ “ ⇒World Record Colbert Number discovered!”. 2016年12月7日閲覧。
^ Chris Caldwell, ⇒The Top Twenty: Largest Known Primes, from The en:Prime Pages.