プリンプトン322 (Plimpton 322) とは、YBC 7289と双璧をなすバビロニア数学について記された粘土板である。どちらも原始ピタゴラス数と関連している。
来歴

呼び名の由来はコロンビア大学にあるG・A・プリンプトンの収集の粘土板の、第322番目のものであることからである。およそ50万ものバビロニアの粘土板が19世紀初めから発掘されてきたが、その内の数千のものが数学の性質についてのものだった。この粘土板は紀元前1800年頃に書かれたものとされ、4列15行の表にその時代の楔形文字で数字が記されている。この粘土板についての一般的な考察は、ジョン・コンウェイとリチャード・ガイ (1996) およびエレノア・ロブソン (en:Eleanor Robson) (2002) を参照のこと。

この粘土板は以前は主にピタゴラス数の表として解釈されてきたが、アメリカ数学協会 (MAA) (en:Mathematical Association of America) はこの解釈に異を唱え、新しい解釈を打ち立てた[1]。ロブソン (2001) はこの粘土板の解釈について、書誌学の観点から批判した。

2018年以降には、「正方形と黄金長方形の間にある、短辺・長辺・対角線の長さが互いに素な自然数である長方形のリスト」であるらしいことが、計算によって確認されている。
起源と日時

プリンプトン322は所々欠損している粘土板であり、およそ幅13cm、高さ9cm（パスポートのサイズである ISO の B7 とほぼ同じ。形状比は 1:√2）であり、厚さは約2cmである。ニューヨークの出版業者ジョージ・A・プリンプトンが考古学商エドガー・J・バンクスから1922年頃に（ロブソンによれば、10ドルで）購入したという。そして1930年代中盤、彼のほかのコレクションと共にコロンビア大学に遺贈された。バンクスによると、その粘土板はテル・センケレ（イラク南部の都市、旧ラルサ）から見付かったという[2]。

この粘土板が紀元前1800年頃に書かれたとされているのは、楔形文字の書式を元に推定されたものである。

ロブソン (2002) は、この書式は「4000から3500年前のイラク南部の文書に典型的に見られるもの」と書いている。特に、はっきりと日付が明記されているラルサ出土のほかの粘土板との類似性からも、プリンプトン322は紀元前1822年?1784年に書かれたと推定される[3]。ロブソンはプリンプトン322が、数学的というよりもむしろ行政的な文章と同じ形式で書かれていることを指摘している[4]。
書かれている数

プリンプトン322の主な内容は4列15行にわたって記された数の表であるが、その数はバビロニアの60進法で記されている。第4列は単に1から15の行番号を示す。第2列と第3列は残存していて完全に読み取れる。しかし、端の第1列は欠損している。それを推測して補うのに矛盾しない2通りの手段があるが、それらは単にそれぞれの数の先頭に1を付け加えるかどうかの違いである。次に表に書いてある数字を示す。括弧内は補った1である。

(1:)59:00:151:592:491
(1:)56:56:58:14:50:06:1556:071:20:252
(1:)55:07:41:15:33:451:16:411:50:493
(1:)53:10:29:32:52:163:31:495:09:014
(1:)48:54:01:401:051:375
(1:)47:06:41:405:198:016
(1:)43:11:56:28:26:4038:1159:017
(1:)41:33:45:14:03:4513:1920:498
(1:)38:33:36:368:0112:499
(1:)35:10:02:28:27:24:261:22:412:16:0110
(1:)33:45451:1511
(1:)29:21:54:02:1527:5948:4912
(1:)27:00:03:452:414:4913
(1:)25:48:51:35:06:4029:3153:4914
(1:)23:13:46:40561:4615

これら4列の左にさらにまだ欠けている列があると考えることもできる。これらの数の60進法から10進法への換算はさらに曖昧である。それはバビロニアの60進法の表記は各数が60の何乗を表す桁のものであるかを表すのに特化していなかったからである。
解釈
直角三角形の辺

各行において第2列の数字は直角三角形の最も短い辺の長さ s、第3列の数字は斜辺の長さ d であると解釈することができる。このとき第1列の数はその三角形の2番目に長い辺の長さを l と置いた時の分数 s 2 l 2 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {s^{2}}{l^{2}}}} もしくは d 2 l 2 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {d^{2}}{l^{2}}}} の値となる。しかし、研究者の間では、これらの数字がどのようにして生成されたかについて議論がある。
ピタゴラス数

1951年、オットー・ノイゲバウアー (en:Otto E. Neugebauer) はこの表の数がピタゴラス数をなしている（15行のうち13行は原始ピタゴラス数である）ことを指摘し、数論の立場からの解釈を提言した。

例えば第11行は辺の比が3:4:5の直角三角形と相似な直角三角形を表していると解釈できる。また、この値は原始ピタゴラス数の「ユークリッドの式」（(m2 − n2, 2mn, m2 + n2)（m, n は自然数、(m, n) は互いに素，m > n, m − n は奇数（すなわち、偶奇が異なる））における (2, 1) に対応する最小のピタゴラス三角形に対応する。これに基づくと、第11行はこれに m = 1, n = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2 と置いたものではないかと解釈しうる（とはいえ 1/2 は自然数ではない）。ノイゲバウアーが言うように、各行をピタゴラス数と解釈したときに、「2番目に大きい項」が正則数（en:regular number。素因数分解したときに、2, 3, 5 以外の素因数を持たない自然数）であることを指摘した。「(m, n) から生成される。この m, n は正則である」という主張は誤っており、(8, 7) は「互いに素であり、偶奇が異なっている」が、7 は正則数ではない。

ノイゲバウアーの説明はコンウェイとガイ (1996) にも例として引用された一つである。しかし、ロブソンは「ノイゲバウアーの理論はどのようにしてこの (m, n) が選ばれたのかを説明していない」と反論している。「互いに素な正則数の組は60までには92組あるが、その内15組しか表に記載されていない。さらに、なぜこの順番で表に記されたか、第1列の数が何の目的で使われたかを説明していない」と批判した。
三角関数

1995年、ジョイスは三角関数と関連付けて説明した。第1列の数は最も短い辺の対角の余弦または正接（数の先頭に1を補うかどうかにより決まる）の2乗であり、その角の大きさは各行間ではおよそ1度刻みで増加しているとする。