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プランク長
Planck length
記号 ℓ P {\displaystyle \ell _{P}}
値1mP=1.616229(38)×10?35 m
相対標準不確かさ2.3×10−5
語源マックス・プランク
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プランク長（プランクちょう、英: Planck length）は、長さのプランク単位である。記号 ℓ P {\displaystyle \ell _{P}} で表し、単位はmPである。コンプトン波長を π {\displaystyle \pi } で割ったものとシュワルツシルト半径とが等しい長さとなる質量で定義される。このときの質量をプランク質量という。
導出

質量 m {\displaystyle m} 、光速度を c {\displaystyle c} 、万有引力定数を G {\displaystyle G} とすると、そのシュワルツシルト半径 r s {\displaystyle r_{s}} は、 r s = 2 G m c 2 , {\displaystyle r_{s}={2Gm \over c^{2}},}

と表される。一方、質量 m {\displaystyle m} のコンプトン波長 λ c {\displaystyle \lambda _{c}} はプランク定数 h {\displaystyle h} を使って λ c = h m c , {\displaystyle \lambda _{c}={h \over mc},}

と表される。定義 r S = λ C π {\displaystyle r_{S}={\lambda _{C} \over \pi }} より、 r S = 2 G m c 2 = h π m c = 2 ℏ m c , {\displaystyle r_{S}={2Gm \over c^{2}}={h \over {\pi m}c}={2\hbar \over {m}c},}

ここで、 ℏ = h 2 π {\displaystyle \hbar ={h \over {2\pi }}} （＝ディラック定数）である。すると、質量 m {\displaystyle m} 、シュワルツシルト半径 r S {\displaystyle r_{S}} はそれぞれ、 m = ℏ c G , r S = 2 ℏ G c 3 , {\displaystyle m={\sqrt {\hbar c \over G}},r_{S}=2{\sqrt {\hbar G \over c^{3}}},}

となる。このとき、 ℓ = λ C 2 π , {\displaystyle \ell ={\lambda _{C} \over 2{\pi }},}

をプランク単位系ではプランク長といい、記号 ℓ P {\displaystyle \ell _{P}} （単位 : mP）で表す。国際単位系に換算すると、 ℓ P m p = ℓ P ℏ G c 3 ≈ ℓ P × 1.616   229 ( 38 ) × 10 − 35 m . {\displaystyle \ell _{P}\,{\mbox{m}}_{p}={\ell _{P}{\sqrt {\hbar G \over c^{3}}}}\thickapprox \ell _{P}\times 1.616\ 229(38)\times 10^{-35}\,{\mbox{m}}.}

となる[1]。
背景

この単位は自然単位による計測系を作ろうとしていたマックス・プランクによって作られた[2]。