「ブロッホ＝ドミニシスの定理」とは異なります。

量子力学や物性物理学におけるブロッホの定理（ブロッホのていり、英: Bloch's theorem）とは、ハミルトニアンが空間的な周期性（並進対称性）をもつ場合に、その固有関数が満たす性質を表した定理のこと。1928年に、フェリックス・ブロッホによって導出された。

結晶は基本格子ベクトルだけ並進すると自分自身と重なり合うため、並進対称性を持つ。よって結晶のエネルギーバンドを計算する際にブロッホの定理は重要となる。
定理の内容

周期ポテンシャル V ( r ) = V ( r + R ) {\displaystyle V({\boldsymbol {r}})=V({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}})} 中の一電子の量子力学的なハミルトニアン演算子を H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} とする。すなわち、 H ^ = − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V ( r ) {\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\boldsymbol {r}})}

このとき、格子が3方向に基本格子ベクトル a 1 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{1}} , a 2 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{2}} , a 3 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{3}} を持ち、格子ベクトル R {\displaystyle {\boldsymbol {R}}} を R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 {\displaystyle {\boldsymbol {R}}=n_{1}{\boldsymbol {a}}_{1}+n_{2}{\boldsymbol {a}}_{2}+n_{3}{\boldsymbol {a}}_{3}} （ n 1 {\displaystyle n_{1}} , n 2 {\displaystyle n_{2}} , n 3 {\displaystyle n_{3}} ：整数）

とすると、 H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} の固有関数として次のような形の関数を選ぶことができる。 ψ ( r + R ) = e i k ⋅ R ψ ( r ) {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}})=e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}}\psi ({\boldsymbol {r}})}

これがブロッホの定理である。
ブロッホ関数

また、ブロッホの定理を満たす関数をブロッホ関数（またはブロッホ波、ブロッホ状態）といい、結晶中の電子の一電子状態を表すために用いられる。ブロッホ関数の一般形は、 u k ( r ) {\displaystyle u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {r}})} を格子の周期性を持つ関数 u k ( r + R ) = u k ( r ) {\displaystyle u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}})=u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {r}})} として、 ψ k ( r ) = e i k ⋅ r u k ( r ) {\displaystyle \psi _{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {r}})=e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {r}})}

と表される。
定理の証明

簡単のため1次元で考える。原子間の距離 a {\displaystyle a} で規則正しく並んだ1次元の結晶を考えると、結晶中の電子が感じるポテンシャルは次のような周期性を持つ。 ⋯ = V ( x − 2 a ) = V ( x − a ) = V ( x ) = V ( x + a ) = V ( x + 2 a ) = ⋯ {\displaystyle \dotsb =V(x-2a)=V(x-a)=V(x)=V(x+a)=V(x+2a)=\dotsb }

結晶中の電子を表すハミルトニアンは、次のように位置に依存する演算子である。 H ^ ( x ) = p ^ 2 2 m + V ( x ) {\displaystyle {\hat {H}}(x)={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V(x)}

ポテンシャルと同様に、このハミルトニアンも原子間の距離 a {\displaystyle a} だけの周期性を持つ。 ⋯ = H ^ ( x − 2 a ) = H ^ ( x − a ) = H ^ ( x ) = H ^ ( x + a ) = H ^ ( x + 2 a ) = ⋯ {\displaystyle \dotsb ={\hat {H}}(x-2a)={\hat {H}}(x-a)={\hat {H}}(x)={\hat {H}}(x+a)={\hat {H}}(x+2a)=\dotsb }

ここで原子間の距離 a {\displaystyle a} だけの並進を行う操作を表す並進演算子を T a ^ {\displaystyle {\hat {T_{a}}}} とすると、 T a ^ { H ^ ( x ) ψ ( x ) } = H ^ ( x + a ) ψ ( x + a ) = H ^ ( x ) ψ ( x + a ) = H ^ ( x ) { T a ^ ψ ( x ) } {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T_{a}}}\left\{{\hat {H}}(x)\psi (x)\right\}&={\hat {H}}(x+a)\psi (x+a)\\&={\hat {H}}(x)\psi (x+a)\\&={\hat {H}}(x)\left\{{\hat {T_{a}}}\psi (x)\right\}\end{aligned}}} ∴ T a ^ H ^ = H ^ T a ^ {\displaystyle \therefore {\hat {T_{a}}}{\hat {H}}={\hat {H}}{\hat {T_{a}}}}

すなわち T a ^ {\displaystyle {\hat {T_{a}}}} と H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} は互いに交換し、同時固有関数を持つ。 H ^ ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle {\hat {H}}\psi (x)=E\psi (x)} T a ^ ψ ( x ) = C a ψ ( x ) {\displaystyle {\hat {T_{a}}}\psi (x)=C_{a}\psi (x)} 　―　(1)

ここで E {\displaystyle E} , C a {\displaystyle C_{a}} は H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} , T a ^ {\displaystyle {\hat {T_{a}}}} の固有値である。