この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）
出典検索?: "ブレートシュナイダーの公式" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2016年5月）
p, q, r, s, A, C の値から四角形の面積が求まる。

ブレートシュナイダーの公式（ブレートシュナイダーのこうしき、Bretschneider's formula）は、四角形の面積を与える公式である。四角形ABCD について、p, q, r, s をそれぞれの辺の長さ、T を半周長、A と C を互いに対角とすると、四角形の面積は ( T − p ) ( T − q ) ( T − r ) ( T − s ) − p q r s cos 2 ⁡ A + C 2 {\displaystyle {\sqrt {(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)-pqrs\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}}}}

に等しい。円に内接する四角形の面積を表したブラーマグプタの公式の一般化であり、任意の四角形について成り立つ。名前の由来はドイツの数学者カール・アントン・ブレートシュナイダー（1808–1878）にちなむ。
証明

四角形の面積を S とすると、 S = ± △ ADB ± △ BDC {\displaystyle S=\pm \bigtriangleup {\text{ADB}}\pm \bigtriangleup {\text{BDC}}} (±は、凸四角形と凹四角形の場合を省略します) = 1 2 p s sin ⁡ A + 1 2 q r sin ⁡ C {\displaystyle {\begin{aligned}&={\frac {1}{2}}ps\sin A+{\frac {1}{2}}qr\sin C\end{aligned}}}

より 4 S 2 = ( p s ) 2 sin 2 ⁡ A + ( q r ) 2 sin 2 ⁡ C + 2 p q r s sin ⁡ A sin ⁡ C {\displaystyle 4S^{2}=(ps)^{2}\sin ^{2}A+(qr)^{2}\sin ^{2}C+2pqrs\sin A\sin C}

を得る。また、余弦定理より、 BD 2 = p 2 + s 2 − 2 p s cos ⁡ A = q 2 + r 2 − 2 q r cos ⁡ C {\displaystyle {\text{BD}}^{2}=p^{2}+s^{2}-2ps\cos A=q^{2}+r^{2}-2qr\cos C}

であるから 1 4 ( q 2 + r 2 − p 2 − s 2 ) 2 = ( p s ) 2 cos 2 ⁡ A + ( q r ) 2 cos 2 ⁡ C − 2 p q r s cos ⁡ A cos ⁡ C {\displaystyle {\frac {1}{4}}(q^{2}+r^{2}-p^{2}-s^{2})^{2}=(ps)^{2}\cos ^{2}A+(qr)^{2}\cos ^{2}C-2pqrs\cos A\cos C}

を得る。4S2 についての式と辺々を足し合わせ、加法定理 cos(A + C) = cos A cos C − sin A sin C を用いると、 4 S 2 + 1 4 ( q 2 + r 2 − p 2 − s 2 ) 2 = ( p s ) 2 + ( q r ) 2 − 2 p q r s cos ⁡ ( A + C ) {\displaystyle 4S^{2}+{\frac {1}{4}}(q^{2}+r^{2}-p^{2}-s^{2})^{2}=(ps)^{2}+(qr)^{2}-2pqrs\cos(A+C)}

となる。倍角の公式 1 + cos ⁡ θ = 2 cos 2 ⁡ θ 2 {\displaystyle 1+\cos \theta =2\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}} を用いて変形すると、 16 S 2 = ( p + q + r − s ) ( p + q − r + s ) ( p − q + r + s ) ( − p + q + r + s ) − 16 p q r s cos 2 ⁡ A + C 2 {\displaystyle 16S^{2}=(p+q+r-s)(p+q-r+s)(p-q+r+s)(-p+q+r+s)-16pqrs\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}}

となる。この式は、半周長 T = p + q + r + s 2 {\displaystyle T={\frac {p+q+r+s}{2}}}

を用いて 16 S 2 = 16 ( T − p ) ( T − q ) ( T − r ) ( T − s ) − 16 p q r s cos 2 ⁡ A + C 2 {\displaystyle 16S^{2}=16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)-16pqrs\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}}

となり、ブレートシュナイダーの公式を得る[1]。
関連する公式

円に内接する四角形については、対角の和の半分が 90°であることから、ブラーマグプタの公式S = √(T − p)(T − q)(T − r)(T − s)

が成り立つ。また、円に外接する四角形については、対辺の和が等しく、T = p + r = q + s であることから S = p q r s sin ⁡ A + C 2 {\displaystyle S={\sqrt {pqrs}}\sin {\frac {A+C}{2}}}

が成り立つ。さらに外接円と内接円を持つ四角形、つまり双心四角形については、S = √pqrs

となる。また、上記の証明は p = 0 として三角形の面積を考えているとしても通用し、ヘロンの公式S = √T(T − q)(T − r)(T − s)

を得る。
脚注[脚注の使い方]^ E. A. ボブソン 1918, p. 203-205.

参考文献

E. A. Jose Garcia (2020) (英語). ⇒Two Identities and their Consequences. MATINF. pp. 5-11. ⇒http://matinf.upit.ro/MATINF6/index.html?fbclid=IwAR1l1rO0oOyEFW8UHuh5Mlt3gv_w8ibykYZGbVM7x2EKG7t3rHSc-vSMH7A#p=1 

アーネスト・ウィリアム・ホブソン (1918) (英語). A Treatise on Plane Trigonometry. Cambridge University Press. https://archive.org/details/treatiseonplanet00hobs/page/n7/mode/2up 

関連項目

四角形

ブラーマグプタの公式

ヘロンの公式