ユークリッド幾何学において、フールマン円(ふーるまんえん、英: Fuhrmann circle)とはドイツの数学者ヴィルヘルム・フールマンにちなんで名づけられた、ナーゲル点 N {\displaystyle N} と垂心 H {\displaystyle H} を直径とする円である。またフールマン三角形の外接円でもある[1]。フールマン円の中心は「Encyclopedia of Triangle Centers」においてX(355)として登録されている[2]。

任意の三角形について、その辺長をそれぞれ a,b,c、内角をそれぞれ A,B,C、半周長をs、外接円の半径をR、内接円の半径をrとすると、フールマン円の半径 R F {\displaystyle R_{F}} は

R F = R ( R − 2 r ) = R 3 − 2 ( cos ⁡ A + cos ⁡ B + cos ⁡ C ) = R 1 − 8 ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) a b c = a b c 2 s { a b c 8 ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) − 1 } {\displaystyle {\begin{aligned}R_{F}&={\sqrt {R(R-2r)}}\\&=R{\sqrt {3-2(\cos A+\cos B+\cos C)}}\\&=R{\sqrt {1-{\frac {8(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}}}}\\&={\sqrt {{\frac {abc\,}{2s}}\left\{{\frac {abc\,}{8(s-a)(s-b)(s-c)}}-1\right\}}}\\\end{aligned}}}

である。これはオイラーの定理により、外心と内心の距離と等しい。

また、垂心でないほうの、各頂垂線とフールマン円との交点について、同一頂垂線上に在る各頂点との距離が内接円の直径と等しくなる。

フールマン円の中心と内心の中点は九点円の中心である[3]。
一般化

△ABCについて点Pの外周三角形を△A'B'C' とする。また、A',B',C'をそれぞれBC,CA,ABで鏡映した点をPa,Pb,Pcとする。△PaPbPcの外接円をPのヘギー円（P-Hagge circle）またはPのフールマン円（P-Fuhrmann circle）と言う[4][5]。名称はカール・ヘギーに由来する。Pが内心のとき、ヘギー円はフールマン円となる。フールマン円と同様、ヘギー円は以下の性質を満たす[6]。

ヘギー円は垂心を通る。

Pの等角共役点P*とPのヘギー円の中心の中点は、九点円の中心である。

ヘギー円の半径はP*と外心の距離に等しい。

垂心のヘギー円に対する対蹠点、重心、P*は共線である。

Pフールマン三角形の外接円である。

注釈^ Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 228?229, 300 (originally published 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as Modern Geometry).