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出典検索?: "フロベニウス自己準同型"
可換環論や体論では、フロベニウス自己準同型 (フロベニウス写像、英: Frobenius endomorphism, Frobenius map) （フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスの名前にちなむ）は、有限体を含む重要なクラスである素数の標数 p をもつ可換環の特別な自己準同型のことを言う。この自己準同型写像は、各元を p 乗する。ある文脈においては、自己同型となるが、一般にこれは正しくない。 p を素数、 R を標数 p の可換環（たとえば、有限体や正標数の整域）とする。フロベニウス自己準同型写像（フロベニウス写像） F : R → R は、R の任意の元 r に対し F ( r ) = r p {\displaystyle F(r)=r^{p}} により定義される[1]。明らかに、これは R の乗法と整合的、つまり F ( r s ) = ( r s ) p = r p s p = F ( r ) F ( s ) {\displaystyle F(rs)=(rs)^{p}=r^{p}s^{p}=F(r)F(s)} が成り立ち、さらに F ( 1 ) = 1 {\displaystyle F(1)=1} となる。一方で、 R の加法に関しても興味深いことが言える。式 (r + s)p を二項展開する。p は素数であるので、p! を割り切るが、q < p に対しいかなる q! も割り切らない。よって 1 ≤ k ≤ p − 1 であれば、p は二項係数 p ! k ! ( p − k ) ! {\displaystyle {\frac {p!}{k!(p-k)!}}} の分子を割り切るが、分母を割り切らない。 したがって、 rp と sp を除くすべての項の係数は標数 p で割り切れるので、それらは消える。したがって、 F ( r + s ) = ( r + s ) p = r p + s p = F ( r ) + F ( s ) {\displaystyle F(r+s)=(r+s)^{p}=r^{p}+s^{p}=F(r)+F(s)} となる[注釈 1]。以上からフロベニウス写像 F : R → R は環準同型である[1]。 R と S を標数 p の環、φ : R → S を環準同型とすると、 ϕ ( x p ) = ϕ ( x ) p {\displaystyle \phi (x^{p})=\phi (x)^{p}} が成り立つ。ここで FR と FS をそれぞれ R と S 上のフロベニウス写像とすれば、この式は ϕ ∘ F R = F S ∘ ϕ {\displaystyle \phi \circ F_{R}=F_{S}\circ \phi } と書き換えられる。つまりフロベニウス写像たちは標数 p の可換環がなす圏の恒等関手上の自然変換である。 R が被約環（たとえば体などの整域）のとき、フロベニウス写像は単射となる。なぜならば、F(r) = 0 は rp = 0 を意味するので r は冪零であり、自明となるから。さらに逆も正しい。 またフロベニウス写像は、R が体であるときでさえ、全射であるとは限らない。たとえば、K = Fp(t) を p 元体 Fp に超越元 t を添加した体とする。同じことだが、K = Fp(t) を Fp 係数の一変数有理函数の体とする。このとき、F の像は t を含まない。もし t を像に含むとすると、有理函数 q(t)/r(t) で、その p 乗 q(t)p/r(t)p が t となるものが存在する。しかし、この p 乗の次数は p deg(q) − p deg(r) ゆえ、p の倍数である。特に、t の次数 1 とは一致しない。これは矛盾。以上から、t は F の像ではない。 体 K が完全であるとは、標数が 0 であるか、正の標数かつフロベニウス写像が全射であることを言う[2]。たとえば、すべての有限体は完全である[3]。
定義