フリードマン数（フリードマンすう、英: Friedman number）とは、自然数のうち、その数に使われている数字を全て用いて、(I) 四則演算、(II) 累乗、(III) 複数個の数字を合わせて2桁以上の数にする、という3つの方法のうち少なくとも1つを用いて数式を作ることで元の数に一致させられる数のことをいう。ただし(III)の方法だけでフリードマン数を作ることはできないものとする。例として、25 (= 52) 、153 (= 51×3) 、 289 (= (8+9)2) などがある。
最初の20個のフリードマン数

25 = 52 , 121 = 112 , 125 = 51+2 , 126 = 21×6 , 127 = −1+27 , 128 = 28−1 , 153 = 51×3 , 216 = 61+2 , 289 = (8+9)2 , 343 = (3+4)3 , 347 = 73+4 , 625 = 56−2 , 688 = 86×8 , 736 = 7+36 , 1022 = 210−2 , 1024 = (4−2)10 , 1206 = 201×6 , 1255 = 251×5 , 1260 = 21×60 , 1285 = (1+28)×5 , … （オンライン整数列大辞典の数列 A036057）

数学的性質

2つ以上の数の組で成り立つものもある。例えば、(128, 168) の組は 21×8=168 , 16×8=128 という関係が成り立つ。

0を含まないパンデジタル数の内フリードマン数であるものは以下の2つが知られていた。123456789 = ((86 + 2 × 7)5 − 91) / 34 , 987654321 = (8 × (97 + 6/2)5 + 1) / 34

2020年時点で、0を含まない9桁のパンデジタル数と0を含む10桁のパンデジタル数のフリードマン数の一覧が発表されている[1]。この中には以下のナイスフリードマン数が含まれている。268435179 = ?268 + 4 (3×5 ? 17) ? 9

25×102n で表される数は 500...02 と表せ、そこから連続するフリードマン数を得ることができる。例えば250068は 5002+68 と表せるフリードマン数であり、同様に250000から250099までの全ての整数はフリードマン数である。

5の累乗数、1024（210）から8388608（223）までの2の累乗数は全てフリードマン数である。またn進法での121は n2+2n+1 であり、これは (n+1)2 に等しいので全てのnに関して 121n = 112n が成り立つ。したがって何進法でも（どんな位取り記数法でも）121はフリードマン数である。

素数のフリードマン数は127が最小である。その数列は127, 347, 2503, 12101, 12107, 12109, 15629, 15641, 15661, 15667, 15679, 16381, 16447, 16759, 16879, 19739, …であり、オンライン整数列大辞典の数列 A112419を参照のこと。

ヴァンパイア数はすべてフリードマン数である。
ナイスフリードマン数

ナイスフリードマン数 (nice Friedman number) とは、各桁の数字の順番通りに計算することで元の数に一致させられるようなフリードマン数である。そのような数の内最小のものは127であり、 −1+27 という形で表すことでナイスフリードマン数の条件を満たす。127から小さい順にナイスフリードマン数を列記すると127 = −1+27 , 343 = (3+4)3 , 736 = 7+36 , 1285 = (1+28)×5 , 2187 = (2+18)7 , 2502 = 2+502 , 2592 = 25×92 , 2737 = (2×7)3−7 , 3125 = (3+1×2)5 , 3685 = (36+8)×5 , 3864 = 3×(−8+64) , 3972 = 3+(9×7)2 , 4096 = (4+0×9)6 , 6455 = (64−5)×5 , 11264 = 11×26+4 , … （オンライン整数列大辞典の数列 A080035）

ぞろ目の数の内最小のナイスフリードマン数は 99,999,999 = (9+9/9)9−9/9 −9/9 と表される。Brandon Owensは24桁以上のぞろ目数は何進法でもナイスフリードマン数になることを証明した。
脚注^ パンデジタル数の一覧

外部リンク

Math Magic

表

話

編

歴
自然数の類
冪数（累乗数）および関連概念

アキレス数

2の冪

3の冪

4の冪

5の累乗数

6の冪

10の冪

平方数

立方数

四乗数

五乗数

六乗数

七乗数

八乗数

完全冪

多冪数

素数冪

a × 2b ± 1 の形

カレン数

二重メルセンヌ数

フェルマー数

メルセンヌ数

プロス数

タービト数（英語版）

ウッダル数

多項式数

キャロル数

ヒルベルト数（英語版）

Idoneal数（英語版）

キニア数

レイランド数

ローズチ数（英語版）

オイラーの幸運数（英語版）

レピュニット

漸化式から定められる数

フィボナッチ数

ヤコブスタール数（英語版）

レオナード数（英語版）

リュカ数

パドヴァン数（英語版）

ペル数

ペラン数

その他の特定の性質を持つ数の集合

クネーデル数

シェルピンスキー数

リーゼル数

特定の和を通じて表される数

非斜辺数（英語版）

台形数（英語版）

プラクティカル数

準素擬似完全数（英語版）

ウラム数

ウォルステンホルム数（英語版）

篩を通じて生成される数

幸運数

符号関連

メルテンス数（英語版）

図形数

二次元

中心つき多角数

中心つき三角数

中心つき四角数

中心つき五角数

中心つき六角数

中心つき七角数

中心つき八角数

中心つき九角数

中心つき十角数（英語版）

六芒星数

非中心多角数

三角数

四角数

平方三角数

五角数

六角数

七角数

八角数

九角数

十角数

十二角数


三次元

中心つき多面体数（英語版）

中心つき四面体数

中心つき立方体数

中心つき八面体数

中心つき十二面体数（英語版）

中心つき二十面体数（英語版）

非中心多面体数（英語版）

四面体数

八面体数

十二面体数（英語版）

二十面体数（英語版）

星型八面体数（英語版）

角錐数（英語版）

四角錐数

五角錐数

六角錐数

七角錐数（英語版）


四次元