数学基礎論において、フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG) とはツェルメロ＝フレンケル集合論＋選択公理 (ZFC)の保存拡大である公理的集合論である。NBGでは、量化子の範囲を集合に限定した論理式によって定義される集合の集まりとして、クラスの概念を導入する。NBGは、すべての集合というクラスやすべての順序数というクラスといった、集合よりも大きいクラスを定義できる。モース＝ケリー集合論 (MK) は量化子の範囲がクラスである論理式によるクラスの定義を許容する。NBGは有限公理化できる一方、ZFCやMKではできない。

NBGのキーとなる定理はクラスの存在定理である。クラスの存在定理は、量化子の範囲を集合に限定した論理式それぞれに対して、論理式を満たす集合からなるクラスの存在を述べる。クラスは、クラスの論理式を一つずつ構築することで構成される。すべての集合論的な論理式は2種類の原子論理式（所属関係と等式）と有限個の論理記号から構築されるため、論理式を満足するクラスを構築するには有限個の公理があればよい。NBGが有限公理化できるのは、こうした理由による。クラスは他の概念の構築にも用いられ、集合論的パラドックスへの対処や、ZFCの選択公理より強い大域選択公理（英語版）の説明に用いられる。

ジョン・フォン・ノイマンは1925年に集合論にクラスを導入した。彼の理論の原始概念（英語版）は関数と引数であった。これらの概念を用いて、フォン・ノイマンはクラスと集合を定義した。[1] パウル・ベルナイスはクラスと集合を原始概念とすることで、フォン・ノイマンの理論を再定式化した。[2] クルト・ゲーデルは、選択公理の相対的無矛盾性の証明と一般連続体仮説を用いてベルナイスの理論を単純化した。[3]
集合論におけるクラス
クラスの使用例

NBGにおいてクラスはいくつかの使用例がある：

クラスによって集合論を有限公理化する。[4]

"非常に強い形の選択公理を表現するのに用いられる。[5]?すなわち、大域選択公理（英語版）のことである。大域選択公理の内容は以下の通り：すべての空でない集合 x {\displaystyle x} に対して G ( x ) ∈ x {\displaystyle G(x)\in x} である、すべての空でない集合のクラス上に定義された大域選択関数 G {\displaystyle G} が存在する。大域選択公理はZFCの選択公理よりも強い。ZFCの選択公理の内容は以下の通り：任意の空でない集合の集合 s {\displaystyle s} について、すべての x ∈ s {\displaystyle x\in s} に対して f ( x ) ∈ x {\displaystyle f(x)\in x} である s {\displaystyle s} 上の選択関数（英語版） f {\displaystyle f} が存在する。[注釈 1]

集合でないクラスが存在することを認めると、集合論的パラドックスは解決される。例えば、すべての順序数のクラス O r d {\displaystyle Ord} を集合であると仮定する。すると、 O r d {\displaystyle Ord} は ∈ {\displaystyle \in } で整列された推移的集合となる。すなわち、定義から O r d {\displaystyle Ord} は順序数である。したがって、 O r d ∈ O r d {\displaystyle Ord\in Ord} であるが、これは O r d {\displaystyle Ord} が ∈ {\displaystyle \in } で整列されていることに矛盾する。したがって、 O r d {\displaystyle Ord} は集合ではない。集合ではないクラスを真のクラスと呼ぶため、 O r d {\displaystyle Ord} は真のクラスである。[6]

真のクラスは集合などの作成に便利である。 大域選択公理と一般連続体仮説の相対的非矛盾性の証明において、ゲーデルは構成可能集合を作るのに真のクラスを用いた。ゲーデルはすべての順序数のクラス上の関数を構成した。すなわち、各順序数について、構成済の集合に対して集合を作る処理を適用することで構成可能集合を作った。構成可能集合はこの関数の像である。[7]

公理型とクラス存在定理

ZFCの言葉にクラスが加えられれば、ZFCをクラス付きの集合論に変換するのが容易になる。まず、クラス解釈の公理型を加える。この公理型は以下の通り：量化子の範囲を集合に限定したすべての論理式 ϕ ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})} に対して、論理式を満たす n {\displaystyle n} -組からなるクラス A {\displaystyle A} が存在する?すなわち、 ∀ x 1 ⋯ ∀ x n [ ( x 1 , … , x n ) ∈ A ⟺ ϕ ( x 1 , … , x n ) ] {\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})]} である。すると置換公理はクラスを用いる一つの公理で置き換えられる。最後に、ZFCの外延性の公理はクラスを扱う形に修正される：2 つのクラスが同じ元を持つならば、それらのクラスは等しい。ほかのZFCの公理は修正されない。[8]

この理論は有限公理化されない。ZFCの置換公理型は一つの公理で置き換えられるが、クラス解釈の公理はZFCに導入されていないからである。

この理論を有限個の公理で構築するには、まずクラス解釈の公理を有限個のクラス外延性の公理で置き換える。するとこれらの公理は、公理系中のどの公理をも含意するクラス存在定理に用いられる。[8] この理論の証明には 7 つのクラス存在公理があれば十分である。これらのクラス存在公理は、論理式の構成から論理式を満たすクラスの構成へ変換するのに用いられる。
NBGの公理化
クラスと集合

NBGにはクラスと集合という 2 種類の対象がある。直感的には、どの集合も同時にクラスである。これを公理化する方法は 2 通り存在する。ベルナイスは 2 ソートの多ソート論理を用いた。[2] ゲーデルはソートの代わりに原始述語を用いた： C l s ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {Cls}}(A)} を「 A {\displaystyle A} はクラスである」ことを、 M ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {M}}(A)} を「 A {\displaystyle A} は集合である」ことを表す述語とする（ドイツ語では集合は Menge である)。ゲーデルは「すべての集合はクラスである」という公理と、「クラス A {\displaystyle A} がクラスの元であれば、 A {\displaystyle A} は集合である」という公理を導入した。[9] 述語はソートの回避のためによく使われる。