フェルマーの最終定理（フェルマーのさいしゅうていり、英: Fermat's Last Theorem）とは、3 以上の自然数 n について、xn + yn = zn となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない、という定理である[注釈 1]。

フェルマーの大定理とも呼ばれる。ピエール・ド・フェルマーが「驚くべき証明を得た」と書き残したと伝えられ、長らく証明も反証もなされなかったことからフェルマー予想とも称されたが、フェルマーの死後330年経った1995年にアンドリュー・ワイルズによって完全に証明され、ワイルズの定理またはフェルマー・ワイルズの定理とも呼ばれるようになった[1]。
概要

17世紀、フランスの裁判官ピエール・ド・フェルマー（1607年 - 1665年）は、古代ギリシアの数学者ディオファントスの著作『算術』を読み、本文中の記述に関連した着想を得ると、それを余白に書き残しておくという習慣を持っていた。それらは数学的な定理あるいは予想であったが、限られた余白への書き込みであるため、また充分な余白がある場合にも、フェルマーはその証明をしばしば省略した（たとえば、フェルマーの小定理として知られる書き込みを実際に証明したのは、ゴットフリート・ライプニッツである）。

48か所に及ぶこれらの書き込みが知られるようになったのは、フェルマーの没後の1670年に彼の息子サミュエルによってフェルマーの書き込み入りの『算術』が刊行されてからである[注釈 2][注釈 3]。

第2巻第8問「平方数を2つの平方数の和に表せ[注釈 4]」の欄外余白に、フェルマーはCubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.[4]立方数を2つの立方数の和に分けることはできない。4乗数を2つの4乗数の和に分けることはできない。一般に、冪が2より大きいとき、その冪乗数を2つの冪乗数の和に分けることはできない。この定理に関して、私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる。

とラテン語で書き残した。彼の残した他の書き込みは、全て真か偽かの決着がつけられた（証明された・反例が挙げられた）が、最後まで残ったこの予想だけは誰も証明することも反例を挙げることもできなかった。そのため「フェルマーの最終定理」[注釈 5]と呼ばれるようになった。内容自体は三平方の定理程度の知識があれば理解できるものであったため、プロ、アマチュアを問わず多くの者がその証明に挑んだ。見事に証明した者には賞金を与えるという話も出てきて、フェルマーの最終定理の存在が一般にも徐々に知られるようになっていった。
個別研究の時代

n が具体的な値を取るいくつかの場合についてはさまざまな証明が与えられた。
n = 4：フェルマー1670年に発行されたディオファントスの『算術』(338?339頁)には、フェルマー自身が記した n=4 の場合の無限降下法を用いた最終定理の証明が収録されている。

フェルマー自身の証明は、ディオファントスの『算術』に記された45番目の書き込みに含まれている[5]。フェルマーは以下の手法、法則、定理を使い証明した[6]。

指数法則に従って x4 + y4 = z4 を (x2)2 + (y2)2 = (z2)2 に変換し、ピタゴラス数の性質を利用する。

x, y, z は互いに素であるとする。

定理「互いに素である2つの数の積が平方数であるならば、2つの数もそれぞれ平方数である。」

x を偶数、z, y を奇数とする。

偶数と奇数の性質

無限降下法

フェルマーによる証明は後にレオンハルト・オイラーによって簡潔な形で直される[7]。

n = 4 の場合がフェルマーによって証明された後は、残りの証明は n が奇素数の場合のみを考えればよいことになる[8]。なぜなら、n が奇数の場合は、n = pq…r のように奇素数の積で表すことができて、奇素数 p のときに成り立てば、(xq…r)p + (yq…r)p = (zq…r)p より n = pq…r のときも成り立つことが示される。さらに、n が偶数の場合は、4で割った余りが0または2となるので、余りが0すなわち n = 4m の場合は (xm)4 + (ym)4 = (zm)4 より成り立ち、余りが2すなわち n = 4m+2 の場合は n = 2(2m+1) より n が奇数の因数 2m+1 を持つことになり 2m+1 を素因数分解したときの奇素数について成り立つからである。
n = 3：オイラー

レオンハルト・オイラーは1753年にクリスティアン・ゴールドバッハへ宛てた書簡の中で n = 3 の場合の証明法について言及し[9]、1760年に純初等的で完全な証明を得た[10]。