フィンスラー多様体（フィンスラーたようたい、英: Finsler manifold）とは、可微分多様体 M であって各接空間 TxM でミンコフスキー汎関数 F(x, ?) (非対称のときもある) が与えられ、任意の滑らかな曲線 γ: [a, b] → M の長さが L ( γ ) = ∫ a b F ( γ ( t ) , γ ˙ ( t ) ) d t {\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,\mathrm {d} t}
であるものと定義される、微分幾何学の概念である。
正接ノルムが内積から誘導されていないことから、フィンスラー多様体はリーマン多様体よりも一般的な概念と言える。
フィンスラー多様体は、2点間の距離がそれらを結ぶ曲線の最小長で定義されるときintrinsic
な準距離空間になる。ポール・フィンスラーがこの幾何学を研究し(Finsler 1918)、エリ カルタン (1933)がそのことにちなんでフィンスラー多様体と名付けた。 フィンスラー多様体は、可微分多様体 M であって、接束上の連続非負関数 F: TM → [0, +∞) であるフィンスラー計量がM の各点 x に対して、以下の性質をもつものである： つまり、F(x, ?) は接空間 TxM 上の非対称ノルム
定義
（劣加法性）x で M に正接する 2 つの任意ベクトル v,w に対して F(v + w) ≤ F(v) + F(w)。
（正の斉次性）任意の λ ≥ 0 に対して F(λv) = λF(v)。
（正定値性）v = 0 でない限り F(v) > 0。
F は TM の零切断の補集合で滑らか。
劣加法の条件は次の強い凸性条件に置き換えることができる：
各接線ベクトル v ≠ 0 について、v での F2 のヘッセ行列は正定値である。
ここで、v における F2 のヘッシアンは対称な双線型形式 g v ( X , Y ) := 1 2 ∂ 2 ∂ s ∂ t [ F ( v + s X + t Y ) 2 ] 。 s = t = 0 {\displaystyle \mathbf {g} _{v}(X,Y):={\frac {1}{2}}\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left[F(v+sX+tY)^{2}\right]\right|_{s=t=0}}
である。これは v における F の基本テンソルとも呼ばれる。強い凸性は、.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}u⁄F(u) ≠ v⁄F(v) の場合に厳密な不等式による劣加法性を意味する。 F が強い凸性を持つならばそれは接空間のミンコフスキーノルムである。
さらに、
任意の接ベクトル v に対して F(?v) = F(v)
のとき、フィンスラー計量は可逆であるという。可逆なフィンスラー計量は接空間の (通常の意味での) ノルムを定義する。 (M, a) をリーマン多様体とし、b を M 上の微分 1 形式で ‖ b ‖ a := a i j b i b j < 1 , {\displaystyle \|b\|_{a}:={\sqrt {a^{ij}b_{i}b_{j}}}<1,} を満たすものとする。ここで aij は aij の逆行列である。アインシュタインの縮約記法を用いている。すると F ( x , v ) := a i j ( x ) v i v j + b i ( x ) v i {\displaystyle F(x,v):={\sqrt {a_{ij}(x)v^{i}v^{j}}}+b_{i}(x)v^{i}} は M 上のランダース計量を定義し、(M, F) は非可逆フィンスラー多様体の特殊なケースであるランダース多様体である[1]。 (M, d) を準距離とする。つまり M は可微分多様体であり、d は M の微分構造と次の意味での互換性をもつ：
例
有限次元のノルム線型空間の滑らかな部分多様体 (開部分集合を含む) は、ベクトル空間のノルムが原点の外側で滑らかならばフィンスラー多様体である。
（擬リーマン多様体ではない）リーマン多様体はフィンスラー多様体の特殊なケースである。
ランダース多様体
滑らかな準距離空間
M の任意の点 z の近傍で滑らかな M のチャート (U, ϕ) と定数 C ≥ 1 が存在して、任意の x, y ∈ U に対して次が成り立つ： 1 C ‖ ϕ ( y ) − ϕ ( x ) ‖ ≤ d ( x , y ) ≤ C ‖ ϕ ( y ) − ϕ ( x ) ‖ . {\displaystyle {\frac {1}{C}}\|\phi (y)-\phi (x)\|\leq d(x,y)\leq C\|\phi (y)-\phi (x)\|.}