フィボナッチ数（フィボナッチすう、英: Fibonacci number）は、イタリアの数学者レオナルド・フィボナッチ（ピサのレオナルド）に因んで名付けられた数である。
概要

フィボナッチ数列（フィボナッチすうれつ、（英: Fibonacci sequence） (Fn) は、次の漸化式で定義される：F0 = 0,F1 = 1,Fn+2 = Fn + Fn+1 (n ? 0)

第0?22項の値は次の通りである：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, …（オンライン整数列大辞典の数列 A000045）

1202年にフィボナッチが発行した『算盤の書』(Liber Abaci) に記載されたことで「フィボナッチ数」と呼ばれているが、それ以前にもインドの学者であるヘーマチャンドラ (Hemachandra) が韻律の研究により発見し、書物に記したことが判明している[1][2]。
兎の問題

レオナルド・フィボナッチは次の問題を考案した[3]。

1つがいの兎は、産まれて2か月後から毎月1つがいずつの兎を産む。

兎が死ぬことはない。

この条件の下で、産まれたばかりの1つがいの兎は1年の間に何つがいの兎になるか？

つがいの数は次の表のようになる。どの月のつがいの合計も、その前の2つの月での合計の和となり、フィボナッチ数が現れていることが分かる。

産まれたばかりのつがい生後1か月のつがい生後2か月以降のつがいつがいの数（合計）
0か月後1001
1か月後0101
2か月後1012
3か月後1113
4か月後2125
5か月後3238
6か月後53513
7か月後85821
8か月後1381334
9か月後21132155
10か月後34213489
11か月後553455144
12か月後895589233

一般項

フィボナッチ数列の一般項は次の式で表される[3]： F n = 1 5 { ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n } = ϕ n − ( 1 − ϕ ) n 5 = ϕ n − ( − ϕ ) − n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={\frac {\phi ^{n}-(1-\phi )^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\phi ^{n}-(-\phi )^{-n}}{\sqrt {5}}}}

この式は1843年にビネ (Jacques Philippe Marie Binet) が発表したことからビネの公式と呼ばれるが、それ以前の1730年（ド・モアブル）・1765年（オイラー）にも発表されており、ビネは最初の発見者ではない。

なお、この式に現れる ϕ = 1 + 5 2 = 1.618033988749894 ⋯ {\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618033988749894\cdots }

は黄金数で、いくつかの数学的特徴がある。黄金数を作る二次方程式 x2 − x − 1 = 0 の解を α, β (α > β) とすると、上記の一般項は F n = α n − β n α − β = α n α − β + β n β − α {\displaystyle F_{n}={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }}={\frac {\alpha ^{n}}{\alpha -\beta }}+{\frac {\beta ^{n}}{\beta -\alpha }}}

と表せる。

また、一般項の第2項 − 1 5 ( 1 − 5 2 ) n {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}} の絶対値は減少列で、n = 0 のとき 1 5 = 0.447 ⋯ < 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {5}}}=0.447\cdots <{\frac {1}{2}}} より、第2項を切り捨てた式は Fn の値を 0.447 以下（n > 4 のとき1%以下）の誤差で与える近似式である。 F n ≒ ϕ n 5 {\displaystyle F_{n}\fallingdotseq {\frac {\phi ^{n}}{\sqrt {5}}}}

この誤差の絶対値は0.5未満なので、Fn の正確な整数値は以下の式で得られる[3]。 F n = ⌊ ϕ n 5 + 1 2 ⌋ = ⌊ 1 5 ( 1 + 5 2 ) n + 1 2 ⌋ {\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\phi ^{n}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }

ただし、 ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } は床関数である。

なお、後述の負数番への拡張を考慮した場合、n < 0 では逆に一般項の第1項の絶対値が0.5未満となるため、n < 0 における Fn の正確な整数値は以下の式で得られる。 F n = − ⌊ ( − ϕ ) − n 5 + 1 2 ⌋ = − ⌊ 1 5 ( 1 − 5 2 ) n + 1 2 ⌋ {\displaystyle F_{n}=-\left\lfloor {\frac {(-\phi )^{-n}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =-\left\lfloor {\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }

これらのことから、任意の整数 n における Fn の正確な整数値は以下の式で得られる。 F n = ( sgn ⁡ n ) ⌊ { ( sgn ⁡ n ) ϕ } 。