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概要

解説Navier Stokes Laminar.svgEnglish: SVG illustration of the classic Navier-Stokes obstructed duct problem, which is stated as follows. There is air flowing in the 2-dimensional rectangular duct. In the middle of the duct, there is a point obstructing the flow. We may leverage Navier-Stokes equation to simulate the air velocity at each point within the duct. This plot gives the air velocity component of the direction along the duct. One may refer to [1], in which Eq. (3) is a little simplified version compared with ours.
日付2014年11月6日, 17:33:35
原典

投稿者自身による著作物
Brief description of the numerical method

The following code leverages some numerical methods to simulate the solution of the 2-dimensional Navier-Stokes equation.

We choose the simplified incompressible flow Navier-Stokes Equation as follows: ρ ( ∂ v ∂ t + v ? ∇ v ) = μ ∇ 2 v . {\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} .}

The iterations here are based on the velocity change rate, which is given by ∂ v ∂ t = μ ρ ∇ 2 v ? v ? ∇ v . {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}={\frac {\mu }{\rho }}\nabla ^{2}\mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} .}

Or in X coordinates: ∂ v x ∂ t = μ ρ ( ∂ 2 v x ∂ x 2 + ∂ 2 v x ∂ y 2 ) ? v x ∂ v x ∂ x ? v y ∂ v x ∂ y . {\displaystyle {\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}={\frac {\mu }{\rho }}({\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial y^{2}}})-v_{x}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}-v_{y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}.} The above equation gives the code. The case of Y is similar.
作者IkamusumeFan
その他のバージョン
SVG 開発InfoField このSVGのソースコードは正しい。 この ベクター画像はMatplotlibで作成されました。
ソースコードInfoField
Python codefrom __future__ import divisionfrom numpy import arange, meshgrid, sqrt, zeros, sumimport matplotlib.pyplot as pltfrom mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Dfrom matplotlib.ticker import ScalarFormatterfrom matplotlib import rcParams rcParams['font.family'] = 'serif'rcParams['font.size'] = 16 # the layout of the duct laminarx_max = 5 # duct lengthy_max = 1 # duct width# draw the frames, including the angles and labelsax = Axes3D(plt.figure(figsize=(10, 8)), azim=20, elev=20)ax.set_xlabel(r"$x$", fontsize=20)ax.set_ylabel(r"$y$", fontsize=20)ax.zaxis.set_rotate_label(False)ax.set_zlabel(r"$v_x$", fontsize=20, rotation='horizontal')formatter = ScalarFormatter(useMathText=True)formatter = ScalarFormatter()formatter.set_scientific(True)formatter.set_powerlimits((-2,2))ax.w_zaxis.set_major_formatter(formatter)ax.set_xlim([0, x_max])ax.set_ylim([0, y_max])# initial speed of the airini_v = 3e-3mu = 1e-5rho = 1.3# the acceptable difference when terminationaccept_diff = 1e-5# time intervaltime_delta = 1.0# coordinate intervaldelta = 1e-2;X = arange(0, x_max + delta, delta)Y = arange(0, y_max + delta, delta)# number of coordinate pointsx_size = len(X) - 1y_size = len(Y) - 1Vx = zeros((len(X), len(Y)))Vy = zeros((len(X), len(Y)))new_Vx = zeros((len(X), len(Y)))new_Vy = zeros((len(X), len(Y)))# initial conditionsVx[1: x_size - 1, 2:y_size - 1] = ini_v# start evolution and computationres = 1 + accept_diffrounds = 0alpha = mu/(rho * delta**2)while (res>accept_diff and rounds<100): """ The iterations here are based on the velocity change rate, which is given by \frac{\partial v}{\partial t} = \alpha\nabla^2 v - v \cdot \nabla v with \alpha = \mu/\rho. """ new_Vx[2:-2, 2:-2] = Vx[2:-2, 2:-2] + time_delta*(alpha*(Vx[3:-1, 2:-2] + Vx[2:-2, 3:-1] - 4*Vx[2:-2, 2:-2] + Vx[2:-2, 1:-3] + Vx[1:-3, 2:-2]) - 0.5/delta * (Vx[2:-2, 2:-2] * (Vx[3:-1, 2:-2] - Vx[1:-3, 2:-2]) + Vy[2:-2, 2:-2]*(Vx[2:-2, 3:-1] - Vx[2:-2, 1:-3]))) new_Vy[2:-2, 2:-2] = Vy[2:-2, 2:-2] + time_delta*(alpha*(Vy[3:-1, 2:-2] + Vy[2:-2, 3:-1] - 4*Vy[2:-2, 2:-2] + Vy[2:-2, 1:-3] + Vy[1:-3, 2:-2]) - 0.5/delta * (Vy[2:-2, 2:-2] * (Vy[2:-2, 3:-1] - Vy[2:-2, 3:-1]) + Vx[2:-2, 2:-2]*(Vy[3:-1, 2:-2] - Vy[1:-3, 2:-2]))) rounds = rounds + 1 # copy the new values Vx[2:-2, 2:-2] = new_Vx[2:-2, 2:-2] Vy[2:-2, 2:-2] = new_Vy[2:-2, 2:-2] # set free boundary conditions: dv_x/dx = dv_y/dx = 0. Vx[-1, 1:-1] = Vx[-3, 1:-1] Vx[-2, 1:-1] = Vx[-3, 1:-1] Vy[-1, 1:-1] = Vy[-3, 1:-1] Vy[-2, 1:-1] = Vy[-3, 1:-1] # there exists a still object in the plane Vx[x_size//3:x_size//1.5, y_size//2.0] = 0 Vy[x_size//3:x_size//1.5, y_size//2.0] = 0 # calculate the residual of Vx res = (Vx[3:-1, 2:-2] + Vx[2:-2, 3:-1] - Vx[1:-3, 2:-2] - Vx[2:-2, 1:-3])**2 res = sum(res)/(4 * delta**2 * x_size * y_size)# prepare the plot dataZ = sqrt(Vx**2)# refine the region boundaryZ[0, 1:-2] = Z[1, 1:-2]Z[-2, 1:-2] = Z[-3, 1:-2]Z[-1, 1:-2] = Z[-3, 1:-2]Y, X = meshgrid(Y, X);ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap="summer", lw=0.1, edgecolors="k")plt.savefig("Navier_Stokes_Laminar.svg")

ライセンスこの作品の著作権者である私は、この作品を以下のライセンスで提供します。.mw-parser-output .responsive-license-cc{clear:both;text-align:center;box-sizing:border-box;width:100%;justify-content:space-around;align-items:center;margin:0.5em auto;background-color:#f9f9f9;border:2px solid #e0e0e0;border-spacing:8px;display:flex}.mw-parser-output .responsive-license-cc div{margin:4px}.mw-parser-output .rlicense-text div{margin:0.5em auto}@media screen and (max-width:640px){.mw-parser-output .responsive-license-cc{flex-flow:column}.mw-parser-output .rlicense-text{order:1}}
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https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0CC BY-SA 4.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 truetrue↑ Fan, Chien, and Bei-Tse Chao. "Unsteady, laminar, incompressible flow through rectangular ducts." Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik ZAMP 16, no. 3 (1965): 351-360.


キャプション日本語このファイルの内容を1行で記述してください英語project
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