この項目「ピタゴラス数」は翻訳されたばかりのものです。不自然あるいは曖昧な表現などが含まれる可能性があり、このままでは読みづらいかもしれません。（原文：Pythagorean triple）
修正、加筆に協力し、現在の表現をより自然な表現にして下さる方を求めています。ノートページや履歴も参照してください。（2022年3月）
最も単純なピタゴラス数である(3,4,5)、つまり32 + 42 = 52 を示すアニメーション。

ピタゴラス数は、 a2 + b2 = c2を成り立たせる3つの自然数a 、 b 、cの組である。この数の組は一般的に(a, b, c)と書かれ、その一例は(3, 4, 5)である。 (a, b, c)がピタゴラス数の場合、任意の正の整数kに対して(ka, kb, kc)も同様である。原始ピタゴラス数は、 a 、 b 、 cが互いに素である三つの数の組である。 [1]たとえば、 (3, 4, 5)は原始ピタゴラス数であるが、 (6, 8, 10)はそうではない。三辺がピタゴラス数で構成される三角形は、必然的に直角三角形になる。

これはピタゴラスの定理に由来しており、すべての直角三角形の辺の長さは次の式を満たすと述べている。 a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} ;したがって、ピタゴラス数は直角三角形の3つの整数の辺の長さを表す。ただし、非整数の辺を持つ直角三角形は、ピタゴラス三角形を形成しない。たとえば、三辺がそれぞれ1,1,√2の三角形は直角三角形であるが、 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は整数ではないので、 ( 1 , 1 , 2 ) {\displaystyle (1,1,{\sqrt {2}})} はピタゴラス数ではない。

ピタゴラス数は古くから知られてる。最も古い既知の記録は、紀元前1800年頃のバビロニアの粘土板であるプリンプトン322からのもので、六十進法で書かれている。 1900年の初期にエドガージェームズバンクスによって発見され、1922年にジョージアーサープリンプトンに10ドルで売却された。 [2]

整数解を探す場合、方程式a2 + b2 = c2はディオファントス方程式である。したがって、ピタゴラス数は、非線形ディオファントス方程式の最も古い既知の解の1つである。
例

（3、4、5）（5、12、13）（8、15、17）（7、24、25）
（20、21、29）（12、35、37）（9、40、41）（28、45、53）
（11、60、61）（16、63、65）（33、56、65）（48、55、73）
（13、84、85）（36、77、85）（39、80、89）（65、72、97）

（20、99、101）（60、91、109）（15、112、113）（44、117、125）
（88、105、137）（17、144、145）（24、143、145）（51、140、149）
（85、132、157）（119、120、169）（52、165、173）（19、180、181）
（57、176、185）（104、153、185）（95、168、193）（28、195、197）
（84、187、205）（133、156、205）（21、220、221）（140、171、221）
（60、221、229）（105、208、233）（120、209、241）（32、255、257）
（23、264、265）（96、247、265）（69、260、269）（115、252、277）
（160、231、281）（161、240、289）（68、285、293）

ピタゴラス数の生成

ユークリッドの式[3]は、 m > n > 0を満たす任意の自然数の組から一組のピタゴラス数を生成するための基本的な式である。 a = m 2 − n 2 ,   b = 2 m n ,   c = m 2 + n 2 {\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}}

また、下にピタゴラス数のa,b,cに対応させた式を載せる。 a = k ⋅ ( m 2 − n 2 ) ,   b = k ⋅ ( 2 m n ) ,   c = k ⋅ ( m 2 + n 2 ) {\displaystyle a=k\cdot (m^{2}-n^{2}),\ \,b=k\cdot (2mn),\ \,c=k\cdot (m^{2}+n^{2})}
脚注

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^ Long (1972, p. 48)
^ Robson, Eleanor (2002), “Words and Pictures: New Light on Plimpton 322”, The American Mathematical Monthly 109 (2): 105?120, doi:10.1080/00029890.2002.11919845, https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/news/monthly105-120.pdf 
^ Joyce, D. E. (June 1997), “Book X, Proposition XXIX”, Euclid's Elements, Clark University, https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookX/propX29.html 


更新日時:2022年3月27日(日)08:00
取得日時:2022/03/30 21:15