ピタゴラスの定理
種類定理
分野ユークリッド幾何学
命題2辺 (a, b) 上の2つの正方形の面積の和は、斜辺 (c) 上の正方形の面積に等しくなる。
数式 a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
一般化

余弦定理

空間幾何学

非ユークリッド幾何学

微分幾何学

結果

ピタゴラス数

逆ピタゴラスの定理

複素数

ユークリッド距離

ピタゴラスの三角恒等式

初等幾何学におけるピタゴラスの定理（ピタゴラスのていり、（英: Pythagorean theorem）は、直角三角形の3辺の長さの間に成り立つ関係について述べた定理である。その関係は、斜辺の長さを c, 他の2辺の長さを a, b とすると、 c 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}

という等式の形で述べられる[1][2][3]。

現在の日本では三平方の定理（さんへいほうのていり）とも呼ばれている。戦前の日本では勾股弦の定理（こうこげんのていり）と呼ばれていた。「ピタゴラス」と冠しているが、彼が発見したかは定かでない。

ピタゴラスの定理によって、直角三角形において2辺の長さが分かっていれば、残りの1辺の長さを計算することができる[注 1]。例えば、2次元直交座標系において、座標が分かっている2点間の距離を求めることができる。2点間の距離は、2点の各座標の差の 2乗の総和の平方根となる[注 2]。このことは3次元直交座標系でも成り立つ。このようにして一般の有限次元直交座標系に対して導入される距離はユークリッド距離と呼ばれる。

(a, b, c) で特に全てが自然数であるものは、本質的に可算個あることが知られており、ピタゴラス数と呼ばれている。
定理の概要

直角三角形において、斜辺の長さを c、直角をはさむ 2辺の長さを a, b とすると、次の等式が成り立ち、「ピタゴラスの定理」と呼ばれる： a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

ここで a, b, c はいずれも正であるから、2辺の長さから残りの辺の長さを、次のように計算できる： a = c 2 − b 2 {\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}} b = c 2 − a 2 {\displaystyle b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}} c = a 2 + b 2 {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}

この定理は、余弦定理によって一般の三角形に拡張される：任意の三角形において、1つの内角の大きさとそれをはさむ2辺の長さから残りの辺（対辺）の長さを計算できる。特にここで考えている内角の大きさが直角の場合、余弦定理はピタゴラスの等式に帰着する。
歴史バビロニア数学について記された粘土板プリンプトン322

「ピタゴラスが直角二等辺三角形のタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」などいくつかの逸話が伝えられているが、実際にピタゴラスが発見したかどうかは正確には判っていない。

ピタゴラスの定理の内容は歴史上の文献にいくつか著されているが、どれだけあるのかは議論がある。ピタゴラスが生まれる前からピタゴラスの定理は広く知られていた。

判明しているもので最初期のものは、ピタゴラスが生まれる1000年以上前のバビロン第1王朝時代ごろ（紀元前20世紀から16世紀の間）とされる[4][5][6][7]。

バビロニアの粘土板『プリンプトン322』には、ピタゴラスの定理に関わる要素が数多く含まれている。YBC 7289の裏面にはそれらしい記述がある。

エジプト数学やバビロニア数学などにはピタゴラス数についての記述があるが、定理を発見していたかまでは定かではない。ただし、直角を作図するために 3:4:5の直角三角形が作図上利用された可能性がある[8]。紀元前2000年から1786年ごろに書かれた古代エジプトエジプト中王国のパピルス "Berlin Papyrus 6619（英語版）" には定理に関わる部分が欠けている。『周髀算経』におけるピタゴラスの定理の証明（中国語: 句股冪合以成弦冪）

中国古代においては、『周髀算経』（紀元前2世紀前後）や『九章算術』の数学書でもこの定理が取り上げられている。中国ではこの定理を勾股定理、商高定理等と呼んで説明している。

紀元前3世紀に書かれたユークリッド原論では、第1巻の命題47で言及されている。

インドの紀元前5-8世紀に書かれた『シュルバ・スートラ』などにも定理に関わる文章が見られる[9]。しかし、これはバビロニア数学の影響を受けた結果ではないかという推測もされているが、結論には至っていない[10]。レオナルド・ダ・ヴィンチによるピタゴラスの定理の証明。橙色の部分を 90度回転し、緑色の部分は裏返して図の位置にできる。

「ピュタゴラス（ピタゴラス）の定理」という呼称が一般的になったのは、西洋においても少なくとも20世紀に入ってからである[11]。
日本での呼称

日本の和算でも、中国での呼称を用いて鉤股弦の法（こうこげんのほう）等と呼んでいた[12][13]。「勾（鈎）・股・弦」とはそれぞれ、a2 + b2 = c2 (a < b < c) としたときの a, b, c を表している。

日本の明治時代の中等学校の教科書では「ピュタゴラスの定理」と呼ばれていた。

現在、ピタゴラスの定理は「三平方の定理」とも呼ばれているが、「三平方の定理」と呼ばれるようになったのは1942年（昭和17年）の太平洋戦争開始後のことである[11]。

このときに「鉤股弦の定理」とする案などもあったが、末綱恕一（東大教授）の発案で「三平方の定理」に改められたとされる。
ピタゴラス数詳細は「ピタゴラス数」を参照

3辺の長さが何れも整数である直角三角形は、ピタゴラスの定理の項目の中で古くから知られた[11]。例えば、紀元前1800年ごろのバビロニアの粘土板には、3辺の長さの表（例えば 49612 + 64802 = 81612 のようなもの）が出ている。

a2 + b2 = c2 を満たす自然数の組 (a, b, c) をピタゴラス数 (Pythagorean triple) という。特に、a, b, c が互いに素であるピタゴラス数 (a, b, c) は原始ピタゴラス数 (primitive Pythagorean triple) と呼ばれる。全てのピタゴラス数は原始ピタゴラス数で (a, b, c) の正の整数倍 (ka, kb, kc) で表されるから、ピタゴラス数のリストを知るには、原始ピタゴラス数が本質的である。