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出典検索?: "ビオ・サバールの法則" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2021年11月）

ビオ・サバールの法則（ビオ・サバールのほうそく、英: Biot?Savart law）とは電流の存在によってその周りに生じる磁場を計算する為の電磁気学における法則である。この法則は静電場に対するクーロンの法則に対応する。

この法則によって磁場は距離、方向、およびその電流の大きさなどに依存することが論じられる。この法則は静的な近似の元ではアンペールの法則および磁場に対するガウスの法則と同等である。

1820年にフランスの物理学者ジャン＝バティスト・ビオとフェリックス・サヴァールによって発見された。
概要

微小な長さの電流要素 I dl によって r 離れた位置に作られる微小な磁場 dH は d H = I d l × r 4 π r 3 {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {H}}={\frac {I\mathrm {d} {\boldsymbol {l}}\times {\boldsymbol {r}}}{4\pi r^{3}}}}

で表される。ここで r := |r。である。

電流がある程度の幅をもって流れているとき（すなわち、太さ無限小の線でなく領域 V を占めているとき）、電流密度 j を使った積分形で書く必要がある： H = ∫ V j ( r ′ ) × ( r − r ′ ) 4 π 。 r − r ′ 。 3 d 3 r ′ {\displaystyle {\boldsymbol {H}}=\int _{V}{\frac {{\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}}')\times ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')}{4\pi |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}'}

なお上式では左辺の磁場 H は微小量ではない。

この法則は積分を実行して初めて有効な値が出る、すなわち実験的検証が間接的にならざるを得ない欠点がある。
歴史

この節の加筆が望まれています。 （2011年3月）

1820年4月、デンマークの物理学者ハンス・クリスティアン・エルステッドはコペンハーゲン大学での講義中、電気回路をいじっていた時近くにあった方位磁石が北ではない方角を指し示していることに気が付き、電流と磁場の関係について数か月の研究の末、電流の磁気作用を発表した。これを受け、ジャン・バティスタ・ビオとフェリックス・サバールは共同で実験を行い、この法則を発表するに至った。さらにこの数ヵ月後にはフランソワ・アラゴーが電磁石の原理を、アンドレ・マリー・アンペールがアンペールの法則を発見している。これらの功績がエルステッドの発見から僅か一年以内のことであったのは驚くべきことである。

さらに3年後の1823年にスタージャンが実際に電磁石を作成し、24年にアラゴーは回転磁気を発見している。この1820年からの数年間は科学史上重要な期間である。
その他の形式
均一な電流

電流I が如何なる点においても一定の場合磁場H は、 H = I 4 π ∫ d l × r r 3 {\displaystyle {\boldsymbol {H}}={\frac {I}{4\pi }}\int {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {l}}\times {\boldsymbol {r}}}{r^{3}}}}

となる。
等速度運動する点電荷

点電荷q が一定の速度v で運動しているとき、特殊相対性理論とマクスウェルの方程式より以下の電束密度と磁場が与えられる[1]。 D = q 4 π 1 − β 2 ( 1 − β 2 sin 2 ⁡ θ ) 3 / 2 r r 3 H = v × D {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {D}}&={\frac {q}{4\pi }}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}{\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}\\{\boldsymbol {H}}&={\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {D}}\end{aligned}}}

ただし、β = v / c、θ は v とr のなす角であり、c は光速度である。

v が c に対して十分に小さい（ v 2 ≪ c 2 {\displaystyle v^{2}\ll c^{2}} ）ときは、近似的に D = q 4 π   r r 3 H = q v 4 π × r r 3 {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {D}}&={\frac {q}{4\pi }}\ {\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}\\{\boldsymbol {H}}&={\frac {q{\boldsymbol {v}}}{4\pi }}\times {\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}\end{aligned}}}

と表すことができる。

これらの電束密度と磁場に関する式は、点電荷に対するビオ・サバールの法則と呼ばれ、1888年にオリヴァー・ヘヴィサイドによって導かれた。
計算例

この節の加筆が望まれています。 （2011年3月）

無限に長い直線電流の周りの磁場