パレート分布確率密度関数

いくつかの α に関する確率密度関数。
ただし、xm = 1。水平軸（横軸）が x 軸。
α が ∞（無限大）に近づくにつれ、分布は δ(x − xm) に近づく。
ここで δ は ディラックのデルタ関数。
累積分布関数

いくつかのα に関する累積分布関数。
ただし、xm = 1。水平軸(横軸)が x 軸。
母数尺度母数（英語版）（実数）
x m > 0 {\displaystyle x_{\mathrm {m} }>0}
形状母数（英語版）（実数）
α > 0 {\displaystyle \alpha >0}
台 [ x m , ∞ ) {\displaystyle [x_{\mathrm {m} },\infty )}
確率密度関数x > xm のとき
α x m α x α + 1 {\displaystyle {\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}}
累積分布関数 1 − ( x m x ) α {\displaystyle 1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }}
期待値α > 1 のとき
α x m α − 1 {\displaystyle {\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}}
中央値 x m 2 α {\displaystyle x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{\alpha }]{2}}}
最頻値 x m {\displaystyle x_{\mathrm {m} }}
分散α > 2 のとき
x m 2 α ( α − 1 ) 2 ( α − 2 ) {\displaystyle {\frac {{x_{\mathrm {m} }}^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}}
歪度α > 3 のとき
2 ( 1 + α ) α − 3 α − 2 α {\displaystyle {\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}\,{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}}
尖度α > 4 のとき
6 ( α 3 + α 2 − 6 α − 2 ) α ( α − 3 ) ( α − 4 ) {\displaystyle {\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}}
エントロピー ln ⁡ ( α x m ) − 1 α − 1 {\displaystyle \ln \left({\frac {\alpha }{x_{\mathrm {m} }}}\right)-{\frac {1}{\alpha }}-1}
モーメント母関数t < 0 のとき
α ( − x m t ) α Γ ( − α , − x m t ) {\displaystyle \alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t)}
特性関数 α ( − i x m t ) α Γ ( − α , − i x m t ) {\displaystyle \alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t)}
フィッシャー情報量 ( α / x m 2 1 / x m − 1 / x m 1 / α 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha /{x_{m}}^{2}&1/x_{m}\\-1/x_{m}&1/\alpha ^{2}\end{pmatrix}}}
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パレート分布（パレートぶんぷ、英: Pareto distribution）は、イタリアの経済学者ヴィルフレド・パレートが所得の分布をモデリングする分布として提唱した連続型の確率分布である。離散型はゼータ分布（英語版）（ジップ分布）である。
定義と性質

a, b (a > 0, b > 0) をパラメータ、実数 x (x ? b) を確率変数とするときのパレート分布の確率密度関数は以下の式で定義される。（注：右InfoBoxでは α = a, Xm = b） a / b ( x / b ) a + 1 {\displaystyle {\frac {a/b}{(x/b)^{a+1}}}}

このとき、期待値は a b a − 1  for  a > 1 {\displaystyle {\frac {ab}{a-1}}{\mbox{ for }}a>1} 、分散は a b 2 ( a − 1 ) 2 ( a − 2 )  for  a > 2 {\displaystyle {\frac {ab^{2}}{(a-1)^{2}(a-2)}}{\mbox{ for }}a>2} である。
一般化パレート分布

一般化パレート分布確率密度関数

累積分布関数

母数位置母数（実数）
μ ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )}
尺度母数（実数）
σ ∈ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle \sigma \in (0,\infty )}
形状母数（英語版）（実数）
ξ ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle \xi \in (-\infty ,\infty )}
台（ξ ? 0 のとき）μ ? x
（ξ < 0 のとき）μ ? x ? μ − .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}σ/ξ
確率密度関数 1 σ ( 1 + ξ x − μ σ ) − ( 1 / ξ + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }})^{-(1/\xi +1)}}
累積分布関数 1 − ( 1 + ξ z ) − 1 / ξ {\displaystyle 1-(1+\xi z)^{-1/\xi }}
期待値（ξ < 1 のとき）
μ + σ 1 − ξ {\displaystyle \mu +{\frac {\sigma }{1-\xi }}}