この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方)
出典検索?: "パスカルの三角形"
パスカルの三角形(パスカルのさんかくけい、英: Pascal's triangle)は、二項展開における係数を三角形状に並べたものである。ブレーズ・パスカル(1623年 - 1662年)の名前がついているが、実際にはパスカルより何世紀も前の数学者たちも研究していた。
この三角形の作り方は単純なルールに基づいている。まず最上段に 1 を配置する。それより下の段は両端には 1 を、それ以外の位置には右上の数と左上の数の和を配置する。例えば、5段目の左から2番目には、左上の 1 と右上の 3 の合計である 4 が入る。このようにして数を並べると、上から n 段目、左から k 番目の数は、二項係数
( n − 1 k − 1 ) = n − 1 C k − 1 {\displaystyle {n-1 \choose k-1}={}_{n-1}\mathrm {C} _{k-1}}
に等しい。これは、パスカルによって示された以下の式に基づいている。
負でない整数 n ≥ k に対して
( n k ) = ( n − 1 k − 1 ) + ( n − 1 k ) {\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}
( n 0 ) = ( n n ) = 1 {\displaystyle {n \choose 0}={n \choose n}=1}
が成り立つ。 パスカルの三角形の最初の11段は以下のようになる。 これ以降の数字列はオンライン整数列大辞典の数列 A003590 パスカルの三角形は、二項展開でよく使用される。例えば ( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}} のそれぞれの係数は三角形の3段目の数 1 2 1 と一致する。一般に ( x + y ) n = a 0 x n + a 1 x n − 1 y + a 2 x n − 2 y 2 + ⋯ + a n − 1 x y n − 1 + a n y n {\displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}xy^{n-1}+a_{n}y^{n}}
三角形
パスカルの三角形の使用