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パスカルの三角形の最初の6段

パスカルの三角形（パスカルのさんかくけい、英: Pascal's triangle）は、二項展開における係数を三角形状に並べたものである。ブレーズ・パスカル（1623年 - 1662年）の名前がついているが、実際にはパスカルより何世紀も前の数学者たちも研究していた。

この三角形の作り方は単純なルールに基づいている。まず最上段に 1 を配置する。それより下の段は両端には 1 を、それ以外の位置には右上の数と左上の数の和を配置する。例えば、5段目の左から2番目には、左上の 1 と右上の 3 の合計である 4 が入る。このようにして数を並べると、上から n 段目、左から k 番目の数は、二項係数

( n − 1 k − 1 ) = n − 1 C k − 1 {\displaystyle {n-1 \choose k-1}={}_{n-1}\mathrm {C} _{k-1}}

に等しい。これは、パスカルによって示された以下の式に基づいている。

負でない整数 n ≥ k に対して

( n k ) = ( n − 1 k − 1 ) + ( n − 1 k ) {\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}

( n 0 ) = ( n n ) = 1 {\displaystyle {n \choose 0}={n \choose n}=1}

が成り立つ。
三角形

パスカルの三角形の最初の11段は以下のようになる。

これ以降の数字列はオンライン整数列大辞典の数列 A003590を参照。
パスカルの三角形の使用

パスカルの三角形は、二項展開でよく使用される。例えば

( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}

のそれぞれの係数は三角形の3段目の数 1 2 1 と一致する。一般に

( x + y ) n = a 0 x n + a 1 x n − 1 y + a 2 x n − 2 y 2 + ⋯ + a n − 1 x y n − 1 + a n y n {\displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}xy^{n-1}+a_{n}y^{n}}

とおくと、ai たちは、パスカルの三角形の n + 1 段目に並んでいる数である。このことは数学的帰納法により示すことができる。まず、n = 0 の場合は明らかである。次に、

( x + y ) n = ∑ i = 0 n a i x n − i y i {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}y^{i}}

とすると、

( x + y ) n + 1 = x ( x + y ) n + y ( x + y ) n = ∑ i = 0 n a i x n − i + 1 y i + ∑ i = 0 n a i x n − i y i + 1 = ∑ i = 0 n a i x n − i + 1 y i + ∑ i = 1 n + 1 a i − 1 x n − i + 1 y i = a 0 x n + 1 + ∑ i = 1 n a i x n − i + 1 y i + ∑ i = 1 n a i − 1 x n − i + 1 y i + a n y n + 1 = x n + 1 + ∑ i = 1 n ( a i − 1 + a i ) x n − i + 1 y i + y n + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{n+1}&=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}\\&=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i+1}y^{i}+\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}y^{i+1}\\&=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i+1}y^{i}+\sum _{i=1}^{n+1}a_{i-1}x^{n-i+1}y^{i}\\&=a_{0}x^{n+1}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{n-i+1}y^{i}+\sum _{i=1}^{n}a_{i-1}x^{n-i+1}y^{i}+a_{n}y^{n+1}\\&=x^{n+1}+\sum _{i=1}^{n}(a_{i-1}+a_{i})x^{n-i+1}y^{i}+y^{n+1}\end{aligned}}}