パウリ行列（パウリぎょうれつ、英: Pauli matrices）、パウリのスピン行列（パウリのスピンぎょうれつ、英: Pauli spin matrices）とは、下に挙げる3つの複素2次正方行列の組のことである[1][2]。σ（シグマ）で表記されることが多い。量子力学のスピン角運動量や、部分偏極状態の記述方法に関連が深い。1927年に物理学者ヴォルフガング・パウリによって、スピン角運動量の記述のために導入された[3]。 σ 1 = σ x = [ 0 1 1 0 ] ,  σ 2 = σ y = [ 0 − i i 0 ] ,  σ 3 = σ z = [ 1 0 0 − 1 ] {\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\mbox{, }}\quad \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}{\mbox{, }}\quad \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}

添字は数学では 1, 2, 3 が、物理学では x, y, z が使われる。座標系によっては添字と3つの行列の対応が違ったり、あるいは符号が違ったり、さらには一見全く違って見えることもあるが、本質的な性質は変わらない。

上記3つに単位行列 I を加えた4つの行列をパウリ行列と呼ぶこともある。 σ 0 = I = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle \sigma _{0}=I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}
基本的な性質

パウリ行列は次の性質を満たす[1][2]。
エルミート性・ユニタリ性

パウリ行列は σ k † = σ k ( k = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle {\sigma _{k}}^{\dagger }=\sigma _{k}\qquad (k=1,2,3)}

を満たすエルミート行列であり、 σ k † σ k = σ k σ k † = I ( k = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle {\sigma _{k}}^{\dagger }\sigma _{k}=\sigma _{k}{\sigma _{k}}^{\dagger }=I\qquad (k=1,2,3)}

を満たすユニタリ行列でもある。
パウリ行列の積

パウリ行列の自乗は単位行列に等しい。 σ 1 2 = σ 2 2 = σ 3 2 = I {\displaystyle {\sigma _{1}}^{2}={\sigma _{2}}^{2}={\sigma _{3}}^{2}=I}

また相異なるパウリ行列同士の積は次の関係を満たす。 σ 1 σ 2 = − σ 2 σ 1 = i σ 3 , σ 2 σ 3 = − σ 3 σ 2 = i σ 1 , σ 3 σ 1 = − σ 1 σ 3 = i σ 2 {\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}=-\sigma _{2}\sigma _{1}=i\sigma _{3},\quad \sigma _{2}\sigma _{3}=-\sigma _{3}\sigma _{2}=i\sigma _{1},\quad \sigma _{3}\sigma _{1}=-\sigma _{1}\sigma _{3}=i\sigma _{2}}

すなわち i, j, k = 1, 2, 3 について { σ i 2 = I = − i σ 1 σ 2 σ 3 σ i σ j = − σ j σ i ( i ≠ j ) {\displaystyle {\begin{cases}{\sigma _{i}}^{2}&=I=-i\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\\\sigma _{i}\sigma _{j}&=-\sigma _{j}\sigma _{i}\qquad (i\neq j)\end{cases}}}

が成り立つ。ここでクロネッカーのデルタ δij とエディントンのイプシロン εijk を用いれば、これらをまとめて σ i σ j = δ i j I + i ∑ k = 1 3 ε i j k σ k ( i , j , k = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\delta _{ij}I+i\textstyle \sum \limits _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}\qquad (i,j,k=1,2,3)}

と書くことができる。
交換関係・反交換関係

パウリ行列の交換関係と反交換関係は一般的に [ σ i , σ j ] = σ i σ j − σ j σ i = 2 i ∑ k = 1 3 ϵ i j k σ k , { σ i , σ j } = σ i σ j + σ j σ i = 2 δ i j I {\displaystyle {\begin{aligned}[][\sigma _{i},\sigma _{j}]&=\sigma _{i}\sigma _{j}-\sigma _{j}\sigma _{i}=2i\textstyle \sum \limits _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}\sigma _{k},\\\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=\sigma _{i}\sigma _{j}+\sigma _{j}\sigma _{i}=2\delta _{ij}I\end{aligned}}}