佐藤幹夫とヨシフ・ベルンシュタインによる佐藤ベルンシュタイン多項式（b 関数）とは異なります。

バーンスタイン多項式（バーンスタインたこうしき、Bernstein polynomial）は、バーンスタイン基底関数 (Bernstein basis polynomials) の線形結合で与えられるバーンスタイン形式の多項式。セルゲイ・ベルンシュテインにちなむ。

バーンスタイン形式の数値的に安定な手法は、ド・カステリョのアルゴリズム (en:de Casteljau's algorithm) として知られている。

バーンスタイン形式の多項式は、ベルンシュテインによりストーン＝ワイエルシュトラスの定理の構成的な証明において初めて使用された。コンピュータ・グラフィックスの出現により、 x ∈ [0, 1] の範囲におけるバーンスタイン多項式は、ベジェ曲線の重要な要素となった。
定義

n 次のバーンスタイン基底関数は b ν , n ( x ) = ( n ν ) x ν ( 1 − x ) n − ν , ν = 0 , … , n . {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={n \choose \nu }x^{\nu }(1-x)^{n-\nu },\qquad \nu =0,\ldots ,n.}

（ここで ( n ν ) {\displaystyle {n \choose \nu }} は二項係数）として与えられる。

n 次のバーンスタイン基底関数は、n 次以下の多項式からなるベクトル空間の基底をなす[1]。

バーンスタイン基底関数の線形結合によって与えられる B ( x ) = ∑ ν = 0 n β ν b ν , n ( x ) {\displaystyle B(x)=\sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)}

は、n 次のバーンスタイン多項式と呼ばれる。また係数 βν はバーンスタイン係数、またはベジェ係数と呼ばれる。
例

バーンスタイン基底関数は以下のような式となる。 b 0 , 0 ( x ) = 1 b 0 , 1 ( x ) = 1 − x b 1 , 1 ( x ) = x b 0 , 2 ( x ) = ( 1 − x ) 2 b 1 , 2 ( x ) = 2 x ( 1 − x ) b 2 , 2 ( x ) = x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&b_{0,0}(x)=1&&&&\\&b_{0,1}(x)=1-x&&b_{1,1}(x)=x&&\\&b_{0,2}(x)=(1-x)^{2}&&b_{1,2}(x)=2x(1-x)&&b_{2,2}(x)=x^{2}\end{aligned}}}
特性

バーンスタイン基底関数は以下のような特性を持つ。

b ν , n ( x ) = 0 {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0} , if ν < 0 or ν > n

b ν , n ( 0 ) = δ ν , 0 {\displaystyle b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}} and b ν , n ( 1 ) = δ ν , n {\displaystyle b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}} （ここで δ {\displaystyle \delta } はクロネッカーのデルタ関数）

ν ≠ 0 の時、 b ν , n ( x ) = 0 {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0} は x = 0 に解を持つ

ν ≠ n の時、 b ν , n ( x ) = 0 {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0} は x = 1 に解を持つ

b ν , n ( x ) {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)} ? 0 for x in [0,1]

b ν , n ( 1 − x ) = b n − ν , n ( x ) {\displaystyle b_{\nu ,n}(1-x)=b_{n-\nu ,n}(x)}

導関数は2つの低次な多項式により与えられる
b ν , n ′ ( x ) = n ( b ν − 1 , n − 1 ( x ) − b ν , n − 1 ( x ) ) {\displaystyle b'_{\nu ,n}(x)=n\left(b_{\nu -1,n-1}(x)-b_{\nu ,n-1}(x)\right)}

n ≠ 0 の時、 b ν , n ( x ) {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)} は x = ν/n に極大値を持ち、その値は　 ν ν n − n ( n − ν ) n − ν ( n ν ) {\displaystyle \nu ^{\nu }n^{-n}(n-\nu )^{n-\nu }{n \choose \nu }} となる


n 次のバーンスタイン基底関数は1の分割をなす
∑ ν = 0 n b ν , n ( x ) = ∑ ν = 0 n ( n ν ) x ν ( 1 − x ) n − ν = ( x + ( 1 − x ) ) n = 1. {\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}b_{\nu ,n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }x^{\nu }(1-x)^{n-\nu }=(x+(1-x))^{n}=1.}

高次のバーンスタイン基底関数の和としても記述可能
b ν , n − 1 ( x ) = n − ν n b ν , n ( x ) + ν + 1 n b ν + 1 , n ( x ) . {\displaystyle b_{\nu ,n-1}(x)={\frac {n-\nu }{n}}b_{\nu ,n}(x)+{\frac {\nu +1}{n}}b_{\nu +1,n}(x).}
連続関数の近似

[0, 1] の範囲において連続な関数 f (x) を用いたバーンスタイン多項式 B n ( f ) ( x ) = ∑ ν = 0 n f ( ν n ) b ν , n ( x ) . {\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).}

は、[0, 1] の範囲で以下のように、一様に収束する。 lim n → ∞ B n ( f ) ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }B_{n}(f)(x)=f(x)}

このことは、各点収束するが一様収束はしないという命題に比べ、より強い命題である。この一様収束は、以下のように明確に示される。 lim n → ∞ sup 0 ≤ x ≤ 1 。 f ( x ) − B n ( f ) ( x ) 。