数学におけるバナッハ空間（バナッハくうかん、英: Banach space; バナハ空間）は、完備なノルム空間、即ちノルム付けられた線型空間であって、そのノルムが定める距離構造が完備であるものを言う。

解析学に現れる多くの無限次元函数空間、例えば連続函数の空間（コンパクトハウスドルフ空間上の連続写像の空間）、 Lp-空間と呼ばれるルベーグ可積分函数の空間、ハーディ空間と呼ばれる正則函数の空間などはバナッハ空間を成す。これらはもっとも広く用いられる位相線型空間であり、これらの位相はノルムから規定されるものになっている。

バナッハ空間の名称は、この概念をハーンとヘリーらと共に1920-1922年に導入したポーランドの数学者ステファン・バナフに因む[1]。
定義

バナッハ空間の厳密な定義[2]は、ノルム空間 V がバナッハ空間であるとは、V 内の各コーシー列 {vn}∞
n=1 に対して V の適当な元 v を選べば lim n → ∞ v n = v {\displaystyle \lim _{n\to \infty }v_{n}=v} とすることができるときに言う。

バナッハ空間のうち一般によく知られる二種類は、その台となる線型空間の係数体（基礎体）K が実数体 R または複素数体 C であるもので、それぞれ実バナッハ空間および複素バナッハ空間と呼ばれる。
例詳細は「バナッハ空間の一覧」を参照

以下はすべて実数体 R 上のバナッハ空間の例であるが、すべての例においてそれぞれ対応する複素数体上のバナッハ空間を考えることができる。

n 次元ユークリッド空間 Rn は、x = (x1, ..., xn) ∈ Rn に対して次で定義されるどのノルムについてもバナッハ空間である：

‖ x ‖ = 。 x 1 。 2 + ⋯ + 。 x n 。 2 {\displaystyle \lVert x\rVert ={\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2}}}} .

‖ x ‖ p = ( 。 x 1 。 p + ⋯ + 。 x n 。 p ) 1 / p {\displaystyle \lVert x\rVert _{p}=(|x_{1}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p})^{1/p}} （p は 1 以上の実数）。上のノルムは p = 2 の場合である。

‖ x ‖ ∞ = max { 。 x 1 。 , … , 。 x n 。 } {\displaystyle \lVert x\rVert _{\infty }=\max\{|x_{1}|,\ldots ,|x_{n}|\}} .


p を 1 以上の実数とし、実数列 {an} であって p 乗総和可能、つまり ∑ n = 1 ∞ 。 a n 。 p < ∞ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}<\infty } を満たすもの全体を ?p と書く。これは、a = {an} ∈ ?p に対して ‖ a ‖ p = ( ∑ n = 1 ∞ 。 a n 。 p ) 1 p {\displaystyle \lVert a\rVert _{p}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}} で定まるノルムに関してバナッハ空間である。

有界な実数列全体の集合 ?∞ は、a = {an} ∈ ?∞ に対して ‖ a ‖ ∞ = sup n = 1 , 2 , … 。 a n 。 {\displaystyle \lVert a\rVert _{\infty }=\sup _{n=1,2,\ldots }|a_{n}|} で定まるノルムに関してバナッハ空間である。

(Ω, μ) を測度空間とし、p を 1 以上の実数とするとき、Ω 上の p 乗可積分関数全体の集合[注 1] Lp(Ω, μ) は、 ‖ f ‖ p = ( ∫ Ω 。 f 。 p d μ ) 1 / p {\displaystyle \lVert f\rVert _{p}=\left(\int _{\Omega }|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}} で定まるノルムに関してバナッハ空間である。Ω が自然数全体の集合 N で、μ が数え上げ測度のとき、Lp(Ω, μ) は上で述べた ?p と一致する。

(Ω, μ) を測度空間とし、Ω 上の本質的に有界な関数、すなわちほとんどすべての x ∈ Ω に対して f(x) ≤ M となる M が x に依存せずに存在するような関数全体の集合[注 1] L∞(Ω, μ) は、上のような M の下限で定義されるノルムに関してバナッハ空間である。Ω が自然数全体の集合 N で、μ が数え上げ測度のとき、L∞(Ω, μ) は上で述べた ?∞ と一致する。

有界閉区間 I 上の実数値連続関数全体 C(I) は ‖ f ‖ = max x ∈ I 。 f ( x ) 。 {\displaystyle \lVert f\rVert =\max _{x\in I}|f(x)|} で定まるノルムに関してバナッハ空間である。

実ヒルベルト空間は内積から導かれるノルムに関してバナッハ空間となっている。

バナッハ空間の構成
直和空間

二つのバナッハ空間 X, Y に対して、それらの加群としての直和 X ? Y には自然に位相線型空間の構造が入るが、標準的なノルムは存在しない。それでもこれをバナッハ空間とするようないくつか同値なノルムが存在し、その一つとして ‖ x ⊕ y ‖ = ( ‖ x ‖ p + ‖ y ‖ p ) 1 / p , ( 1 ≤ p ≤ ∞ ) {\displaystyle \|x\oplus y\|={\bigl (}\|x\|^{p}+\|y\|^{p}{\bigr )}^{1/p},\quad (1\leq p\leq \infty )}

を挙げることができる。またこの構成を一般化して、任意個のバナッハ空間に対する ?p-直和を定義することができるが、非零な直和因子が無限個存在する場合には、この方法で得られる空間は p に依存して変わる。
商空間

M をバナッハ空間 X の閉部分線型空間とすると、代数的な商空間 X / M は再びバナッハ空間を成す。
連続線型写像と双対空間詳細は「有界作用素」を参照

同じ基礎体 K 上のバナッハ空間 V, W に対し、連続 K-線型写像 A: V → W 全体の成す空間を L(V, W) で表す。無限次元空間の場合には任意の線型写像が自動的に連続となるわけではない。一般にノルム空間上の線型写像が連続となることと、それが単位閉球体上の有界となることとは同値である。従て、線型空間 L(V, W) に作用素ノルム ‖ A ‖ = sup { ‖ A x ‖ W ∣ x ∈ V ,   ‖ x ‖ V ≤ 1 } {\displaystyle \|A\|=\sup\{\|Ax\|_{W}\mid x\in V,\ \|x\|_{V}\leq 1\}}

を入れることができて、このノルムに関して L(V,W) はバナッハ空間を成す。このことは仮定を V がノルム空間である場合に緩めても成り立つ。

V = W である場合、空間 End(V) = L(V) := L(V, V) は写像の合成を積として単位的バナッハ環を成す。

V がバナッハ空間で K をその基礎体（つまり実数体 R もしくは複素数体 Cの何れか）とすると、K は（その絶対値をノルムとして）それ自身バナッハであり、V から K への連続線型函数の空間 L(V, K) として、V の双対空間（連続的双対、位相的双対）V′ を定義することができる。V′ もまた（作用素ノルムに関して）バナッハ空間になる。双対空間を介して V に新たな位相（弱位相）を定義することができる。

ここで写像の連続性は本質的であることに注意せよ。