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出典検索?: "バナッハ環"
数学の、特に関数解析学の分野におけるバナッハ環[注釈 1]（バナッハかん、英: Banach algebra; バナッハ代数、バナッハ多元環、バナッハ線型環）は、完備ノルム体（ふつうは実数体 R または 複素数体 C[注釈 2]）上の結合多元環 A であって、バナッハ空間（ノルムが存在し、ノルムの誘導する位相（ドイツ語版）に関して完備）ともなる。バナッハ代数におけるノルムは乗法に関して劣乗法性: ‖ x y ‖ ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖ ( ∀ x , y ∈ A ) {\displaystyle \|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|\quad (\forall x,y\in A)}
を満たすことが要求され、それにより乗法の連続性は保証される。名称はステファン・バナッハに由来する。
上述の定義において、バナッハ空間をノルム空間に緩める（つまり完備性を要請しない）場合、同様の構造はノルム環（ノルム線型環）と呼ばれる。
バナッハ環は、ノルムが 1 の乗法単位元を持つとき、単位的（unital）であると言う[注釈 3]。また乗法が可換であるとき、可換と言う。単位元を持つ持たないにかかわらず、任意のバナッハ環 A は適当な単位的バナッハ環（つまり A の「単位化」） Ae にこの閉イデアルとなるように等長的に埋め込める。しばしば、扱っている環は単位的であるということがアプリオリに仮定される。すなわち、Ae を考えることで多くの理論を展開でき、その結果を元の環に応用するという方法が取られることがある。しかしこの方法は常に有効という訳ではない。例えば、単位元を持たないバナッハ環においては、すべての三角関数を定義することが出来ない。
実バナッハ環の理論は、複素バナッハ環の理論とは非常に異なるものである。例えば、非自明な複素バナッハ環の元のスペクトルは決して空とはならないが、実バナッハ環においてはいくつかの元のスペクトルは空となり得る。
p-進数体 Qp 上のバナッハ代数（p-進バナッハ代数）は、p-進解析の一部として研究される。目次 バナッハ環の原型となる例は、局所コンパクト（ハウスドルフ）空間上の（複素数値）連続関数で、無限大において消失するようなものからなる空間 C0(X) である。C0(X) が単位的であるための必要十分条件は、X がコンパクトであることである。複素共役を対合として、C0(X) は実際にはC*-環である。より一般に、すべての C*-環はバナッハ環である。
1 例
2 性質
3 スペクトル論
4 イデアルと指標
5 脚注
5.1 注釈
5.2 出典
6 参考文献
7 関連項目
8 外部リンク
例
実または複素数全体の成す体は、絶対値をノルムとしてバナッハ代数 (R, |•|) または (C, |•|) を成す。このとき、ノルムの劣乗法性は「絶対値の乗法性」によって等号を以って成立する。
すべての実または複素 n × n 正方行列の成す集合 Mat(n; R) または Mat(n; C は、劣乗法的行列ノルムを備えることで、単位的バナッハ環となる。
数バナッハ空間 Rn（あるいは Cn）は、（数ベクトル空間の構造と）最大値ノルム ‖ x ‖ := max1≤i≤n |xi| および成分ごとの乗算 (x1, …, xn)⋅(y1, …, yn) = (x1⋅y1, …, xn⋅yn) によって得られる。
四元数の全体 H は、その絶対値で与えられるノルムによって、4-次元実バナッハ環を構成する。
（点ごとの乗算と上限ノルムを備える）集合 X 上で定義されるすべての有界な実または複素数値関数からなる環 B(X; R) または B(X; C は、単位的バナッハ環である。
（再び、点ごとの乗算と上限ノルムを備える）局所コンパクト空間 X 上で定義されるすべての有界な実または複素数値連続関数からなる環 CB(X; R) または CB(X; C) は、バナッハ環である。
（関数の合成で乗算を定め、作用素ノルムをノルムとする）バナッハ空間 E 上のすべての連続線型作用素からなる環は、単位的バナッハ環である。E 上のすべてのコンパクト作用素の集合は、この環における閉イデアルである。
G が局所コンパクト群（すなわち、位相空間として局所コンパクトかつハウスドルフであるような位相群）で、そのハール測度を μ とすれば、G 上のすべての μ-可積分関数からなるバナッハ空間 L1(G) は、その元 x, y に対する畳み込み xy(g) = ∫ x(h) y(h?1g) dμ(h) の下で、バナッハ環となる。（位相群の群環の項も参照）
一様環： 連続函数環 C(X) の部分環で上限ノルムを備え、定数を含み、X の点を分離する（X はコンパクトハウスドルフ空間でなければならない）ようなバナッハ環。