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出典検索?: "バナッハ環" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2017年6月）

数学の、特に関数解析学の分野におけるバナッハ環[注釈 1]（バナッハかん、英: Banach algebra; バナッハ代数、バナッハ多元環、バナッハ線型環）は、完備ノルム体（ふつうは実数体 R または 複素数体 C[注釈 2]）上の結合多元環 A であって、バナッハ空間（ノルムが存在し、ノルムの誘導する位相（ドイツ語版）に関して完備）ともなる。バナッハ代数におけるノルムは乗法に関して劣乗法性: ‖ x y ‖   ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖ ( ∀ x , y ∈ A ) {\displaystyle \|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|\quad (\forall x,y\in A)}

を満たすことが要求され、それにより乗法の連続性は保証される。名称はステファン・バナッハに由来する。

上述の定義において、バナッハ空間をノルム空間に緩める（つまり完備性を要請しない）場合、同様の構造はノルム環（ノルム線型環）と呼ばれる。

バナッハ環は、ノルムが 1 の乗法単位元を持つとき、単位的（unital）であると言う[注釈 3]。また乗法が可換であるとき、可換と言う。単位元を持つ持たないにかかわらず、任意のバナッハ環 A は適当な単位的バナッハ環（つまり A の「単位化」） Ae にこの閉イデアルとなるように等長的に埋め込める。しばしば、扱っている環は単位的であるということがアプリオリに仮定される。すなわち、Ae を考えることで多くの理論を展開でき、その結果を元の環に応用するという方法が取られることがある。しかしこの方法は常に有効という訳ではない。例えば、単位元を持たないバナッハ環においては、すべての三角関数を定義することが出来ない。

実バナッハ環の理論は、複素バナッハ環の理論とは非常に異なるものである。例えば、非自明な複素バナッハ環の元のスペクトルは決して空とはならないが、実バナッハ環においてはいくつかの元のスペクトルは空となり得る。

p-進数体 Qp 上のバナッハ代数（p-進バナッハ代数）は、p-進解析の一部として研究される。
例

バナッハ環の原型となる例は、局所コンパクト（ハウスドルフ）空間上の（複素数値）連続関数で、無限大において消失するようなものからなる空間 C0(X) である。C0(X) が単位的であるための必要十分条件は、X がコンパクトであることである。複素共役を対合として、C0(X) は実際にはC*-環である。より一般に、すべての C*-環はバナッハ環である。

実または複素数全体の成す体は、絶対値をノルムとしてバナッハ代数 (R, |•|) または (C, |•|) を成す。このとき、ノルムの劣乗法性は「絶対値の乗法性」によって等号を以って成立する。

すべての実または複素 n × n 正方行列の成す集合 Mat(n; R) または Mat(n; C は、劣乗法的行列ノルムを備えることで、単位的バナッハ環となる。

数バナッハ空間 Rn（あるいは Cn）は、（数ベクトル空間の構造と）最大値ノルム ‖ x ‖ ? max1≤i≤n |xi| および成分ごとの乗算 (x1, …, xn)⋅(y1, …, yn) = (x1⋅y1, …, xn⋅yn) によって得られる。

四元数の全体 H は、その絶対値で与えられるノルムによって、4-次元実バナッハ環を構成する。

（点ごとの乗算と上限ノルムを備える）集合 X 上で定義されるすべての有界な実または複素数値関数からなる環 B(X; R) または B(X; C は、単位的バナッハ環である。

（再び、点ごとの乗算と上限ノルムを備える）局所コンパクト空間 X 上で定義されるすべての有界な実または複素数値連続関数からなる環 CB(X; R) または CB(X; C) は、バナッハ環である。

（関数の合成で乗算を定め、作用素ノルムをノルムとする）バナッハ空間 E 上のすべての連続線型作用素からなる環は、単位的バナッハ環である。E 上のすべてのコンパクト作用素の集合は、この環における閉イデアルである。

G が局所コンパクト群（すなわち、位相空間として局所コンパクトかつハウスドルフであるような位相群）で、そのハール測度を μ とすれば、G 上のすべての μ-可積分関数からなるバナッハ空間 L1(G) は、その元 x, y に対する畳み込み xy(g) = ∫ x(h) y(h?1g) dμ(h) の下で、バナッハ環となる。（位相群の群環の項も参照）

一様環： 連続函数環 C(X) の部分環で上限ノルムを備え、定数を含み、X の点を分離する（X はコンパクトハウスドルフ空間でなければならない）ようなバナッハ環。

自然バナッハ関数環：すべての指標（character）が X の点での評価（evaluation）であるような一様環。

C*-環：ヒルベルト空間上の有界作用素環の閉 ?-部分環。

測度環（英語版）：局所コンパクト群上のラドン測度全体の成すバナッハ環で、二つの測度の積は測度の畳み込みで与えられる。

性質

冪級数を介して定義されるいくつかの初等関数は、任意の単位的バナッハ環において定義されうる。そのような例として、指数関数や三角関数、さらに一般的な任意の整関数が挙げられる（特に、指数写像は抽象指数群（英語版）を定義するために用いられる）。幾何級数の公式は、一般の単位的バナッハ環においても依然として有効である。二項定理もまた、バナッハ環の二つの可換な元に対して成立する。

任意の単位的バナッハ環 A において可逆元全体の成す集合 A× は開集合であり、その集合上で反転 x ? x−1 は連続（したがって位相同型）ゆえ、A× は乗法に関して位相群を成す。（位相線型環#性質も参照）

バナッハ環が単位元 1 を持つなら、1 は交換子にはなり得ない。すなわち、任意の x, y ∈ A に対して x y − y x ≠ 1 {\displaystyle xy-yx\neq \mathbf {1} } となる。

上述の例に現れる様々な関数環は、実数環のような標準的な例とは大きく異なる性質を持つ。それは例えば、以下のようなものである：

可除多元環であるようなすべての実バナッハ環は、実数環、複素数環あるいは四元数環と同型である。したがって、可除多元環であるような複素バナッハ環は、複素数環のみである（この事実はゲルファント＝マズールの定理として知られる）。

零因子を持たず、すべての主イデアルが閉であるような単位的実バナッハ環は、実数環、複素数環あるいは四元数環と同型である。

零因子を持たない可換な実単位的ネーターバナッハ環は、実数環あるいは複素数環と同型である。

（零因子を持つ持たないにかかわらず）可換な実単位的ネーターバナッハ環は、有限次元である。

バナッハ環の恒特異元（permanently singular elements）の概念は位相的零因子（英語版）の概念に一致する。すなわち、バナッハ環 A に対してその拡大バナッハ環 B を考えるとき、A における特異元のうちには適当な拡大バナッハ環 B 内にその乗法的逆元を持つものが存在するが、A の位相的零因子は A の任意のバナッハ拡大 B において恒に特異である。

スペクトル論詳細は「スペクトル論」を参照

複素数体上の単位的バナッハ環は、スペクトル論を構成するための一般的な舞台となる。