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出典検索?: "バターワースフィルタ"
バターワースフィルタ（英: Butterworth filter）は、フィルタ回路設計の一種。通過帯域が数学的に可能な限り平坦な周波数特性となるよう設計されている。
バターワースフィルタは1930年、イギリスの技術者 スティーブン・バターワース（英語版）が論文 "On the Theory of Filter Amplifiers"(Butterworth 1930) で発表した。
また、特定のフィルタ回路構成を指す用語ではなく、フィルタの応答特性を指す用語であるため、バターワースフィルタ特性（あるいはバターワース特性）と呼ぶ場合もある。 バターワースフィルタの周波数応答は通過帯域では最大限平坦であり（リップルがない）、除去帯域に向かってゼロに近づいていく。対数目盛のボーデ図で見ると、応答曲線は線形に負の無限大に近づいていく。一次フィルタの場合、応答曲線の傾斜は -6dB/octave または -20dB/decade となる（回路構成に関わらず、一次のバターワースフィルタは全てこの特性を示す）。二次バターワースフィルタの場合、応答曲線の傾斜は -12dB/octave、三次の場合 -18dB/octave となる。バターワースフィルタは、ωに対して振幅が単調に変化する。バターワースフィルタは高次になっても特性曲線が同じ形状（ただし、傾斜はきつくなる）だが、他のフィルタ（ベッセル、チェビシェフ、楕円など）は高次になると曲線の形状が変わる。 他のフィルタに比べるとバターワースフィルタによる減衰は緩やかであるため、特定の除去帯域仕様を実装するには高次な実装を必要とする。しかし、通過帯域は他のフィルタより線形な位相応答を示す。 バターワースフィルタの簡単な例として三次ローパスフィルタを右図に示す。 C 2 = 4 / 3 {\displaystyle C_{2}=4/3} F、 R 4 = 1 {\displaystyle R_{4}=1} Ω、 L 1 = 3 / 2 {\displaystyle L_{1}=3/2} H、 L 3 = 1 / 2 {\displaystyle L_{3}=1/2} H とする。 s = σ + j ω {\displaystyle s=\sigma +j\omega } は複素周波数とする。コンデンサ C のインピーダンスを 1/Cs、コイル L のインピーダンスを Ls としたとき、この回路の伝達関数は以下のようになる。 H ( s ) = V o u t ( s ) V i n ( s ) = 1 1 + 2 s + 2 s 2 + s 3 {\displaystyle H(s)={\frac {V_{out}(s)}{V_{in}(s)}}={\frac {1}{1+2s+2s^{2}+s^{3}}}} 周波数応答の大きさ（利得） G ( ω ) {\displaystyle G(\omega )} は以下の式で得られる。 G 2 ( ω ) = 。 H ( j ω ) 。 2 = 1 1 + ω 6 {\displaystyle G^{2}(\omega )=|H(j\omega )|^{2}={\frac {1}{1+\omega ^{6}}}\,} また、位相は以下の式で得られる。 Φ ( ω ) = arg ( H ( j ω ) ) {\displaystyle \Phi (\omega )=\arg(H(j\omega ))\,} ωc=1 の三次バターワースフィルタの利得（緑）と群遅延（赤） 群遅延は、角周波数についての位相の微分と定義され、異なる複数の周波数間の位相差による信号の歪みの尺度である。このフィルタの利得と遅延をプロットしたものを左図に示す。利得曲線を見ると、通過帯域にも除去帯域にもリップルがないことがわかる。 伝達関数 H(s) の絶対値の対数を複素平面にプロットしたものが右図である。複素平面の左半分に3つの極がある。これらは単位円上にあり、実数軸を中心として対称に位置する。利得関数は右半分に3つの極を持ち、全体として単位円が完成する。
概要
簡単な例三次ローパスフィルタ（Cauer形）。このフィルタが遮断周波数 ωc=1 のバターワースフィルタとなるのは、（例えば）C2=4/3 F、R4=1 Ω、L1=3/2 H、L3=1/2 H の場合である。
