ハウスドルフ次元（ハウスドルフじげん、英: Hausdorff dimension）は、フェリックス・ハウスドルフが導入した非負実数値の次元である。フラクタルのような複雑な図形ないし集合の次元を表す道具として用いられる。ハウスドルフ測度を使って定義される次元で、ある集合のハウスドルフ次元は、その集合のハウスドルフ測度が ∞ から 0 へ移る不連続点から定義される。

ハウスドルフの後に、アブラム・ベシコビッチ（英語版）が研究を深めて更に明確化した。そのため、ハウスドルフ・ベシコビッチ次元（ハウスドルフ・ベシコビッチじげん、英: Hausdorff-Besicovitch dimension）とも呼ばれる。フラクタル幾何学や実解析で重要な役割を果たし、特にフラクタル幾何学では最重要概念の一つである。一般的に与えられた集合のハウスドルフ次元を決定するのは困難であるが、自己相似集合などの一部のクラスの集合では求め方が確立している。確定的な定義ではないが、ハウスドルフ次元が位相次元より大きな集合がフラクタルと定義づけられる。
背景

一般的な「次元」という言葉は、現実世界の空間が高さ・幅・奥行きの3つから成るので3次元と呼ぶ考え方に立脚している[1]。この考え方の延長上で、平面は縦・横から成るので2次元で、直線や線分は1次元であるという風に考えられてきた[1]。数学の世界でも、19世紀終わり近くまで、点が 0 次元、直線が 1 次元、平面が 2 次元、…という素朴な次元の概念しか存在しなかった[2]。しかし、19世紀後半に、ゲオルク・カントールが平面上の点と直線上の点が1対1対応を持つことを、ジュゼッペ・ペアノが単位区間から正方形の上への連続写像を構成できることを発見し、数学界で次元の概念の再考が迫られた[3][4]。その後、位相不変で整数値を取る位相次元（正確には被覆次元、大きな帰納的次元、小さな帰納的次元がある[5]）が、次元の精密な定義として導入された[6]。フェリックス・ハウスドルフ

一方、「長さ」「面積」「体積」といった直感的概念についても一般の集合に拡張させる動きが、19世紀末から20世紀初頭にかけてエミール・ボレルやアンリ・ルベーグによって進められた[7]。1914年、コンスタンティン・カラテオドリは n 次元ユークリッド空間内の s 次元測度を定義した[8]。カラテオドリの定義では s は整数値であった[9]。1919年、カラテオドリの仕事を引き継いだフェリックス・ハウスドルフは、カラテオドリの定義は非整数の s に対しても意味があることを指摘し、後にハウスドルフ次元（英: Hausdorff dimension）と呼ばれる非整数次元を導入した[10]。ハウスドルフは、カントールの3進集合のハウスドルフ次元が log 2/log 3 = 0.6309… であることを実際に示してみせた[11]。

ハウスドルフの後に、ハウスドルフ次元およびハウスドルフ測度の概念を明確化を担ったのはアブラム・ベシコビッチ（英語版）である[12]。そのため、彼の名も取ってハウスドルフ次元はハウスドルフ・ベシコビッチ次元（英: Hausdorff-Besicovitch dimension）とも呼ばれる[12]。ハウスドルフ測度とそれを使った幾何学の数学的成果の多くはベシコビッチによって与えられた[13]。ブノワ・マンデルブロは「ハウスドルフが標準的でない次元の父であったのに対し、ベシコビッチは、その母であった」と評している[14]。

そのマンデルブロは、自然の海岸線や樹木の形の数学的理想化として、カントールの3進集合やコッホ曲線やワイエルシュトラス関数などの以前より報告されていた特異な数学的集合の総称として、フラクタルという概念と名称を与えた[15]。