ハウスドルフのパラドックス（英: Hausdorff paradox）とは、選択公理の仮定のもと、球面の逆説的な分解が存在することを主張した定理（疑似パラドックス）である。

つまり、選択公理を仮定すると、球面 K の分割 K = Q ∪ A ∪ B ∪ C であって、A, B, C, B ∪ C は互いに合同であり、Q は可算集合となるようなものが存在する。

いま、合同な図形に対して値が等しいような有限加法的測度が存在し、K の有限加法的測度が 1 であるとすると、A の測度は 1/2 にも 1/3 にもなり、矛盾が生じる。

この定理は、フェリックス・ハウスドルフにより、1914年に選択公理を使って証明され、『集合論基礎』(Grundzuge der Mengenlehre, Leipzig 1914) の巻末に採録された。フランスの数学者エミール・ボレルは、この結果を見て、選択公理に疑念を深めた。

また、1924年、ポーランドの数学者ステファン・バナッハ（バナフ）とアルフレト・タルスキは、ハウスドルフのパラドックスを援用して、バナッハ＝タルスキーのパラドックスを証明した。
証明の概略
球面の回転群の構成

φ {\displaystyle \varphi } をある軸の180度の回転、z軸の周りの120度の回転を ψ {\displaystyle \psi } とする。これらによって生成された群をGとする。

回転軸を適当に選べば、 φ , ψ {\displaystyle \varphi ,\psi } は非可換であり、その積は1とならないことを示すことができる。

φ , ψ , ψ 2 {\displaystyle \varphi ,\psi ,\psi ^{2}} の2つ以上からなる積は、以下の α , β , γ , δ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta } のタイプに分類される。ただし， m 1 , m 2 , … , m n {\displaystyle m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}} は1または2である．

α = ψ m 1 φ ψ m 2 ⋯ φ ψ m n φ β = φ ψ m 1 φ ψ m 2 ⋯ φ ψ m n γ = φ ψ m 1 φ ψ m 2 ⋯ φ ψ m n φ δ = ψ m 1 φ ψ m 2 ⋯ φ ψ m n {\displaystyle {\begin{array}{ccc}\alpha &=&\psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\varphi \\\beta &=&\varphi \psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\\\gamma &=&\varphi \psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\varphi \\\delta &=&\psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\end{array}}}

α ≠ 1 {\displaystyle \alpha \neq 1} であることが示されれば、 β , γ , δ ≠ 1 {\displaystyle \beta ,\gamma ,\delta \neq 1} であることが分かる。

λ = cos ⁡ 2 3 π = − 1 2 , μ = sin ⁡ 2 3 π = 3 2 , {\displaystyle \lambda =\cos {\frac {2}{3}}\pi =-{\frac {1}{2}},\;\;\;\mu =\sin {\frac {2}{3}}\pi ={\frac {\sqrt {3}}{2}},} とすると、

( ψ ) { x ′ = x λ − y μ y ′ = x μ + y λ z ′ = z . ( φ ) { x ′ = − x cos ⁡ ϑ + z sin ⁡ ϑ y ′ = − y z ′ = x sin ⁡ ϑ + z cos ⁡ ϑ ( ψ φ ) { x ′ = − x λ cos ⁡ ϑ + y μ + x λ sin ⁡ ϑ y ′ = − x μ cos ⁡ ϑ − y λ + z μ sin ⁡ ϑ z ′ = x sin ⁡ ϑ + z cos ⁡ ϑ {\displaystyle {\begin{array}{lcc}(\psi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=x\lambda -y\mu \\y'=x\mu +y\lambda \\z'=z\end{array}}.\right.\\(\varphi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=-x\cos \vartheta +z\sin \vartheta \\y'=-y\\z'=x\sin \vartheta +z\cos \vartheta \end{array}}\right.\\(\psi \varphi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=-x\lambda \cos \vartheta +y\mu +x\lambda \sin \vartheta \\y'=-x\mu \cos \vartheta -y\lambda +z\mu \sin \vartheta \\z'=x\sin \vartheta +z\cos \vartheta \end{array}}\right.\end{array}}}

であり、 ( ψ 2 φ ) {\displaystyle (\psi ^{2}\varphi )} は、 ( ψ φ ) {\displaystyle (\psi \varphi )} の式の μ {\displaystyle \mu } を − μ {\displaystyle -\mu } で置き換えたものである。