「ネーターの定理」のその他の用法については「ネーターの定理 (曖昧さ回避)」をご覧ください。
物理学において、ネーターの定理（ネーターのていり、英: Noether's theorem）は、系に連続的な対称性がある場合はそれに対応する保存則が存在すると述べる定理である。
ドイツの数学者エミー・ネーターによって1915年に証明され、1918年に公表された。 系がある変換に対して記述に変化を受けない場合、その変換をその系の対称性と呼ぶ。特に解析力学においては、変換に対して系の作用積分が変化しない場合に、この変換を対称性と呼ぶ。これは、系の運動方程式は最小作用の原理を通じて定まるため、作用の変分がゼロであれば系の運動方程式は変化しないためである。ネーターの定理は、ラグランジアンの変数に対する連続的な変換が系の対称性になっている場合に、@media screen{.mw-parser-output .fix-domain{border-bottom:dashed 1px}}対称性の下での作用の変分がある保存量の時間についての全微分になる[疑問点 – ノート 以下ではラグランジュ形式の解析力学で記述される系を考える。q = (q1,...,qn) を一般化座標とし、 L ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)} を系のラグランジアンとする。作用積分 S [ q ] = ∫ t I t F d t L ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle S[q]=\int _{t_{I}}^{t_{F}}\mathrm {d} t\,L(q,{\dot {q}},t)} が微小変換 t → t ′ = t + δ t , q i → q ′ i = q i + δ q i {\displaystyle t\to t'=t+\delta t,~q^{i}\to q'^{i}=q^{i}+\delta q^{i}} に対して対称性を持つとする。ここで、この変換は幾つかのパラメータの線型結合で書けるとする。 δ t = ϵ r T r , δ q i = ϵ r Q r i {\displaystyle \delta t=\epsilon _{r}T_{r},\quad \delta q^{i}=\epsilon _{r}Q_{r}^{i}} 但し、重複する添え字記号については、アインシュタインの記法に従い、和をとるものとする。このとき、 X r = ( ∂ L ∂ q ˙ i q ˙ i − L ) T r − ∂ L ∂ q ˙ i Q r i {\displaystyle X_{r}=\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}{\dot {q}}^{i}-L\right)T_{r}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}Q_{r}^{i}} は保存量 d X r d t = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} X_{r}}{\mathrm {d} t}}=0} となり、この保存量はポアソン括弧により微小変換 { X r , t } = T r , { X r , q i } = Q r i {\displaystyle \{X_{r},t\}=T_{r},~\{X_{r},q^{i}\}=Q_{r}^{i}} を定める。 ハミルトン力学においてネーターの定理は次のように表現される。 ハミルトニアンがある微少変換 δ {\displaystyle \delta } について不変であれば δ {\displaystyle \delta } の生成子 G δ {\displaystyle G_{\delta }} は時間不変である。 ここで δ {\displaystyle \delta } の生成子 G δ {\displaystyle G_{\delta }} とは、 δ {\displaystyle \delta } によるベクトル ( q i , p i ) {\displaystyle (q^{i},p^{i})} の増分 δ ( q i , p i ) {\displaystyle \delta (q^{i},p^{i})} が
概説
解析力学におけるネーターの定理
ラグランジュ力学によるネーターの定理
ハミルトン力学によるネーターの定理
