数学において、ニューマン?シャンクス?ウィリアムズ素数（Newman?Shanks?Williams prime、NSW素数）は次のような形で書くことのできる素数 S 2 m + 1 = ( 1 + 2 ) 2 m + 1 + ( 1 − 2 ) 2 m + 1 2 . {\displaystyle S_{2m+1}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}}{2}}.}

この素数は平方位数の有限単純群の研究中の1981年にMorris Newman, Daniel Shanks, Hugh C. Williamsの3人により最初に記述された。

最初のいくつかのNSW素数は7, 41, 239, 9369319, 63018038201, … （オンライン整数列大辞典の数列 A088165）であり、これは指数 3, 5, 7, 19, 29, …に対応している（オンライン整数列大辞典の数列 A005850）。

式中に示された数列Sは以下の漸化式で記述することができる。 S 0 = 1 {\displaystyle S_{0}=1\,} S 1 = 1 {\displaystyle S_{1}=1\,} S n = 2 S n − 1 + S n − 2 for all  n ≥ 2. {\displaystyle S_{n}=2S_{n-1}+S_{n-2}\qquad {\text{for all }}n\geq 2.}

数列の最初の数項は1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, … となる（オンライン整数列大辞典の数列 A001333）。この数列の各項は対応するペル数の数列項の半分である。これらの数も連分数の収束において√2に収束する。
参考文献

Newman, M.; Shanks, D.; Williams, H. C. (1980). “Simple groups of square order and an interesting sequence of primes”. Acta Arithmetica 38 (2): 129?140. 

外部リンク

⇒The Prime Glossary: NSW number

表

話

編

歴
素数の分類
生成式

フェルマー (22n + 1)

メルセンヌ (2p − 1)

二重メルセンヌ (22p−1 − 1)

ワグスタッフ ((2p + 1)/3)

プロス (k・2n + 1)

階乗 (n! ± 1)

素数階乗 (pn# ± 1)

ユークリッド (pn# + 1)

ピタゴラス (4n + 1)

ピアポント (2u・3v + 1)

Quartan（英語版） (x4 + y4)

ソリナス（英語版） (2a ± 2b ± 1)

カレン (n・2n + 1)

ウッダル (n・2n − 1)

Cuban（英語版） ((x3 − y3)/(x − y))

キャロル ((2n − 1)2 − 2)

Kynea ((2n + 1)2 − 2)

レイランド (xy + yx)

サービト（英語版） (3・2n − 1)

ミルズ ([A]3n)

漸化式（英語版）

フィボナッチ

リュカ

ペル

ニューマン?シャンクス?ウィリアムズ

ペラン

分割

ベル

モツキン

各種の性質

ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）)

ウォール?孫?孫（英語版）

ウォルステンホルム

ウィルソン

幸運

フォーチュン

ラマヌジャン（英語版）

ピライ

正則

強（英語版）

スターン

Supersingular (楕円曲線)（英語版）

Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）

良い

スーパー

ヒッグス（英語版）

高度コトーティエント（英語版）

基数依存

ハッピー

二面（英語版）

回文

エマープ

レピュニット ((10n − 1)/9)

置換可能

Circular（英語版）

切り捨て可能

Strobogrammatic（英語版）

Minimal（英語版）

弱い

フルサイクルプライム