ニュートン・コーツの公式（ニュートン・コーツのこうしき、英: Newton?Cotes formulae, Newton-Cotes rules）とは、等間隔の点における被積分関数の値に基づく数値積分法の総称である。名前はアイザック・ニュートンとロジャー・コーツに由来する。

ニュートン・コーツの公式は、等間隔の点での被積分関数の値が与えられた場合に有用である。もし他の点での値も求められるならば、ガウス求積やクレンショー・カーチス求積（英語版）などの他の方法の方が適している場合もある。
概要

ニュートン・コーツの公式は、端点を使う「閉じた」ものと、端点を使わない「開いた」ものの 2 種類に大別できる。

n 次の閉じたニュートン・コーツの公式は次のようになる。 ∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ i = 0 n w i f ( x i ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i})}

ここで x i = a + i b − a n   {\displaystyle {\displaystyle x_{i}=a+i\,{\frac {b-a}{n}}}\ } ( i = 0 , . . . , n ) {\displaystyle (i=0,...,n)} である。

wi は重みと呼ばれる。重みは以下のようにラグランジュ補間による補間多項式から導かれる。 ∫ a b f ( x ) d x ≈ ∫ a b L ( x ) d x = ∫ a b ( ∑ i = 0 n f ( x i ) l i ( x ) ) d x = ∑ i = 0 n f ( x i ) ∫ a b l i ( x ) d x ⏟ w i {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\,l_{i}(x)\right)\,dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{w_{i}}}

また、以上の導出から重みは関数 f によらず、xi のみによって決まることがわかる。

n 次の開いたニュートン・コーツの公式の場合は、 x i = a + ( i + 1 ) b − a n + 2   {\displaystyle {\displaystyle x_{i}=a+(i+1){\frac {b-a}{n+2}}}\ } ( i = 0 , . . . , n ) {\displaystyle (i=0,...,n)} とし、重みは閉じたものと同様である。
ニュートン・コーツの公式の一覧

閉じたニュートン・コーツの公式次数名前式誤差項
1台形公式 b − a 2 ( f 0 + f 1 ) {\displaystyle {\frac {b-a}{2}}(f_{0}+f_{1})} − ( b − a ) 3 12 f ( 2 ) ( ξ ) {\displaystyle -{\frac {(b-a)^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )}
2シンプソンの公式 b − a 6 ( f 0 + 4 f 1 + f 2 ) {\displaystyle {\frac {b-a}{6}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})} − ( b − a ) 5 2880 f ( 4 ) ( ξ ) {\displaystyle -{\frac {(b-a)^{5}}{2880}}\,f^{(4)}(\xi )}
3シンプソンの3/8公式 b − a 8 ( f 0 + 3 f 1 + 3 f 2 + f 3 ) {\displaystyle {\frac {b-a}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})} − ( b − a ) 5 6480 f ( 4 ) ( ξ ) {\displaystyle -{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}\,f^{(4)}(\xi )}
4ブールの公式（英語版） b − a 90 ( 7 f 0 + 32 f 1 + 12 f 2 + 32 f 3 + 7 f 4 ) {\displaystyle {\frac {b-a}{90}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})} − ( b − a ) 7 1935360 f ( 6 ) ( ξ ) {\displaystyle -{\frac {(b-a)^{7}}{1935360}}\,f^{(6)}(\xi )}