法則
質量保存の法則
運動量保存の法則
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クラウジウス?デュエムの不等式
固体力学
固体 ・ 変形 ・ 弾性 ・ 弾性波 ・ 弾塑性 ・ 塑性 ・ フックの法則 ・ 応力 ・ ひずみ ・ 有限変形理論 ・ レオロジー ・ 粘弾性 ・ 超弾性
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流体動力学 ・ 粘度 ・ ニュートン流体
非ニュートン流体
表面張力
科学者
ニュートン ・ ストークス ・ ナビエ ・ コーシー ・ フック ・ ベルヌーイ
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表
話
ナビエ?ストークス方程式（ナビエ?ストークスほうていしき、英: Navier?Stokes equations）は、流体の運動を記述する2階非線型偏微分方程式であり、流体力学で用いられる。[1][2]アンリ・ナビエとジョージ・ガブリエル・ストークスによって導かれた[3][4]。日本語の文献だとNS方程式とも略される。[5]ニュートン力学における運動の第2法則に相当し、運動量の流れの保存則を表す。 流体の質量と運動量の保存則を表す連続の方程式 ∂ ρ ∂ t + div ( ρ v ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho {\boldsymbol {v}})=0} ∂ ( ρ v ) ∂ t + div ( ρ v v ) = div σ + ρ g {\displaystyle {\frac {\partial (\rho {\boldsymbol {v}})}{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho {\boldsymbol {v}}{\boldsymbol {v}})=\operatorname {div} {\boldsymbol {\sigma }}+\rho {\boldsymbol {g}}} D v D t = ∂ v ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) v = 1 ρ div σ + g {\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {v}}}{Dt}}={\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}+({\boldsymbol {v}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {v}}={\frac {1}{\rho }}\operatorname {div} {\boldsymbol {\sigma }}+{\boldsymbol {g}}} と導かれる。ここで ρ は密度場で、σ は応力場、g は流体の質量あたりに作用する外力場（加速度場）である。 ニュートン流体を仮定すれば、応力場が σ = ( − p + χ Θ ) 1 + μ ( e − 2 3 Θ 1 ) = ( − p + λ Θ ) 1 + μ e {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left(-p+\chi \Theta \right)\mathbf {1} +\mu \left({\boldsymbol {e}}-{\frac {2}{3}}\,\Theta \,\mathbf {1} \right)=(-p+\lambda \Theta )\mathbf {1} +\mu {\boldsymbol {e}}} で与えられる。ここで p は圧力（静圧）で、χ は体積粘性率、μ は剪断粘性率である。e は対称化した速度勾配で、デカルト座標の下で成分表示をすれば e a b = ∂ v a ∂ x b + ∂ v b ∂ x a {\displaystyle e_{ab}={\frac {\partial v_{a}}{\partial x_{b}}}+{\frac {\partial v_{b}}{\partial x_{a}}}} で表され、Θ は速度場の発散 Θ = div v = 1 2 tr e {\displaystyle \Theta =\operatorname {div} {\boldsymbol {v}}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} {\boldsymbol {e}}} である。 この形の応力場を用いると、速度場のラグランジュ微分が D v D t = − 1 ρ grad p + μ ρ Δ v + λ + μ ρ grad Θ + Θ ρ grad ( λ + μ ) + 1 ρ grad ( v ⋅ grad μ ) + 1 ρ rot ( v × grad μ ) − 1 ρ v Δ μ + g {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D{\boldsymbol {v}}}{Dt}}=&-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} p+{\frac {\mu }{\rho }}\Delta {\boldsymbol {v}}+{\frac {\lambda +\mu }{\rho }}\operatorname {grad} \Theta +{\frac {\Theta }{\rho }}\operatorname {grad} (\lambda +\mu )\\&+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} ({\boldsymbol {v}}\cdot \operatorname {grad} \mu )+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {rot} ({\boldsymbol {v}}\times \operatorname {grad} \mu )-{\frac {1}{\rho }}\,{\boldsymbol {v}}\Delta \mu +{\boldsymbol {g}}\\\end{aligned}}}
導出
