トゥシャール多項式と時折呼ばれることもあるが異なる多項式の族 Qnについては「ベイトマン多項式」をご覧ください。

数学において、Jacques Touchard (1939) によって研究されたトゥシャール多項式（トゥシャールたこうしき、英: Touchard polynomials）あるいは指数多項式（exponential polynomials）[1][2][3] とは、次で定義される二項型の多項式列のことを言う。 T 0 ( x ) = 1 , T n ( x ) = ∑ k = 1 n S ( n , k ) x k = ∑ k = 1 n { n k } x k , n > 0. {\displaystyle T_{0}(x)=1,\qquad T_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}S(n,k)x^{k}=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}x^{k},\quad n>0.}

ただし S(n, k) は第二種スターリング数、すなわちサイズが n の集合を k 個の互いに素な空でない集合に分割する組合せの数を表す（上の第二式に現れる大括弧の記号 { } はドナルド・クヌースによって導入された）。n次トゥシャール多項式の 1 における値は n 番目のベル数、すなわち、サイズ n の集合を分割する組合せの数である。すなわち T n ( 1 ) = B n {\displaystyle T_{n}(1)=B_{n}}

である。

X を、期待値が λ であるようなポアソン分布を伴う確率変数とすると、その n 次モーメントは E(Xn) = Tn(λ) で、次が定義される。 T n ( x ) = e − x ∑ k = 0 ∞ x k k n k ! . {\displaystyle T_{n}(x)=e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}k^{n}}{k!}}.}

この事実より、この多項式列は二項型であることが直ちに示される。すなわち、次の等式が成り立つ。 T n ( λ + μ ) = ∑ k = 0 n ( n k ) T k ( λ ) T n − k ( μ ) . {\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(\lambda )T_{n-k}(\mu ).}

トゥシャール多項式は、すべての多項式の第一次数の項の係数が 1 であるような二項型の多項式列のみを作る。 T n + 1 ( x ) = x ∑ k = 0 n ( n k ) T k ( x ) . {\displaystyle T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x).}

トゥシャール多項式は、ロドリゲスの公式に似た次の公式を満たす。 T n ( e x ) = e − e x d n d x n ( e e x ) {\displaystyle T_{n}\left(e^{x}\right)=e^{-e^{x}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{e^{x}}\right)}

トゥシャール多項式は、次の漸化式 T n + 1 ( x ) = x ( 1 + d d x ) T n ( x ) {\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+{\frac {d}{dx}}\right)T_{n}(x)}

および T n + 1 ( x ) = x ∑ k = 0 n ( n k ) T k ( x ) {\displaystyle T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x)}

を満たす。x = 1 の場合、これはベル数に対する漸化式に帰着される。

陰記法 Tn(x)=Tn(x) を用いることで、これらの公式は次のようになる。 T n ( λ + μ ) = ( T ( λ ) + T ( μ ) ) n . {\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\left(T(\lambda )+T(\mu )\right)^{n}.} T n + 1 ( x ) = x ( 1 + T ( x ) ) n . {\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+T(x)\right)^{n}.}