ディリクレの関数（ディリクレの-かんすう）とは、実数全体の成す集合 ? 上で定義される次のような関数のことである。 f ( x ) = { 1 ( x ∈ Q ) 0 ( x ∈ R ∖ Q ) {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&(x\in \mathbb {Q} )\\0&(x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} )\end{cases}}}

ただし、? は有理数全体の成す集合であり、? ? ? は無理数全体の成す集合である。式から分かるように、この関数はいたるところで不連続である。ディリクレの関数は数学者のペーター・グスタフ・ディリクレに因んで命名された[1]。
積分可能性 sup ∫ b a f ( x ) d x = a − b {\displaystyle \sup \int _{b}^{a}f(x)dx=a-b} inf ∫ b a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \inf \int _{b}^{a}f(x)dx=0}

が成り立つから[注釈 1]、ディリクレの関数はリーマン積分不可能であることが分かる。一方、ルベーグ積分は可能で、その値は 0 である。これは、可算無限集合である ? はルベーグ測度に関して零集合であることによる。
周期性

この関数は、任意の有理数 a {\displaystyle a} に対して f ( x + a ) = f ( x ) {\displaystyle f(x+a)=f(x)} となる。これは有理数体 ? が加法について閉じていることによる。

また、この関数は無限個の周期を持ち、かつ定数関数とならない一例である。
連続関数の極限としての表示

ディリクレの関数は、ディリクレ本人によって、 f ( x ) = lim n → ∞ lim k → ∞ cos 2 k ⁡ ( n ! π x ) {\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }\lim _{k\to \infty }\cos ^{2k}(n!\,\pi x)}

と表せることが示されている（したがってディリクレ関数は 2 階のベール関数の一例である）。その方法は次による。

任意の有理数 q を考える。n! q は、十分大きな n に対して恒等的に整数である。それに比べ、無理数 r は、いくら n を大きく取っても n! r が整数にならない。従って、ディリクレの関数は、次のように変形できる。 f ( x ) = { 1 ( n ! x ∈ Z ) 0 ( n ! x ∈ R ∖ Z ) ( n → ∞ ) {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&(n!\,x\in \mathbb {Z} )\\0&(n!\,x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Z} )\end{cases}}(n\to \infty )}

ただし、? は整数全体の成す集合。さてここで、関数 F ( x ) = { 1 ( x ∈ Z ) 0 ( x ∈ R ∖ Z ) {\displaystyle F(x)={\begin{cases}1&(x\in \mathbb {Z} )\\0&(x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Z} )\end{cases}}}

を表示できれば、f(x) = lim[n→∞] F(n!x) となって決着がつく。（F は単独で考えても興味深い関数である。） F は、不連続でありながらも周期的である。一定の周期を持つ関数として三角関数を考える。cos2(πx) は、x が整数であれば 1 を返し、それ以外であれば [0, 1) 内の実数を返す。[0, 1) 内の実数は、無限回冪乗することによって 0 に収束させることが出来る。また、1 はいくら冪乗しても常に 1 となって変化しない。これより、 F ( x ) = lim k → ∞ cos 2 k ⁡ ( π x ) {\displaystyle F(x)=\lim _{k\to \infty }\cos ^{2k}(\pi x)}

が結論付けられる。従って、 f ( x ) = lim n → ∞ F ( n ! x ) = lim n → ∞ lim k → ∞ cos 2 k ⁡ ( n ! π x ) {\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }F(n!x)=\lim _{n\to \infty }\lim _{k\to \infty }\cos ^{2k}(n!\pi x)}

となる訳である。
脚注[脚注の使い方]
注釈^ sup∫ を上積分、inf∫ を下積分という。

出典^ Lejeune Dirichlet, Peter Gustav (1829), ⇒“Sur la convergence des series trigonometriques qui servent a representer une fonction arbitraire entre des limites donnees”, Journal fur die reine und angewandte Mathematik 4: 157?169, ⇒http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=PPN243919689_0004%7Clog13  Google Books; arXiv:0806.1294