この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）
出典検索?: "ブラ-ケット記法" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2017年4月）

ブラ-ケット記法（ブラ-ケットきほう、英: bra-ket notation）またはディラックの記法[1]（ディラックのきほう、英: Dirac notation）は[注 1]、量子力学における量子状態を記述するための標準的な記法である。

ブラケット（bra-ket）という呼称は、量子状態をブラ（bra） ⟨φ| とケット（ket） |ψ⟩ と呼ばれる2つのベクトルで表すこと、またブラとケットの内積 ⟨φ|ψ⟩ が括弧（bracket）を成すことに由来する。

ブラケット記法は1939年のポール・ディラックの論文(Dirac 1939)で提案された。ディラックの教科書 the principles of quantum mechanics では1947年の第3版からブラケット記法を採用している[2]。
ブラ・ケット

ブラ ⟨φ| はケット |ψ⟩ のなすベクトル空間の双対空間の元として定義される。ケットをケットへ写す線型な関数（線型作用素）を O ^ {\displaystyle {\hat {O}}} で表し、ケットに対する適用を O ^ 。 ψ ⟩ {\displaystyle {\hat {O}}|\psi \rangle } と表す。ブラケット記法において、以下の関係を満たすブラへの作用素は、ケットに対する作用素と同じ記号で表される。 { ⟨ ϕ 。 O ^ } 。 ψ ⟩ = ⟨ ϕ 。 { O ^ 。 ψ ⟩ } {\displaystyle \{\langle \phi |{\hat {O}}\}|\psi \rangle =\langle \phi |\{{\hat {O}}|\psi \rangle \}}

通常、上記の内積は括弧を外して ⟨ ϕ 。 O ^ 。 ψ ⟩ {\displaystyle \langle \phi |{\hat {O}}|\psi \rangle } と表される。また特に任意のケット |ψ⟩ に作用してケット |η⟩⟨ξ|ψ⟩ を与える作用素は |η⟩⟨ξ| と表される。また同様のブラに対する作用素も同じ記号で |η⟩⟨ξ| と表される。
性質

ブラの随伴はケット、ケットの随伴はブラである。 ⟨ ψ 。 † = 。 ψ ⟩ , 。 ψ ⟩ † = ⟨ ψ 。 {\displaystyle \langle \psi |^{\dagger }=|\psi \rangle ,\quad |\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |}

また、ある状態 。 ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } において、観測可能量 O ^ {\displaystyle {\hat {O}}} の期待値はブラ ⟨ψ| とケット ˆO|ψ⟩ の内積 ⟨ ψ 。 O ^ 。 ψ ⟩ {\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle } として表される。

初学者向けの説明として、ケットは列ベクトル、ブラは行ベクトルに対応させる場合がある（行列表示を参照）。
利点と欠点

この記法の利点として

基底に依存しない記述が可能

固有値が離散、連続どちらの場合も統一的に扱える

中身の書き方を自由に工夫して記述できる（パラメータだけを並べて |n, l, m⟩ としたり、|生きている猫⟩ と書くこともできる）

などがある[3]。
無限次元での取り扱い

ディラックの説明によればケット |ψ⟩ の空間においてブラ ⟨φ| は線形汎関数を表す、すなわちブラは双対空間に属しており、無限次元の場合ブラの空間はケットの空間より広い場合がある。しかし、ブラの空間にはケットの空間と同型の部分空間が必ず存在し、ケットの内積は常に定義できる。量子力学においては、ケットもブラも量子状態を過不足なく表すもので、ケットに対応しないブラには物理的意味がないので、ブラの空間としてはケットの空間と同型のものしか考えない。
正規直交基底とブラケット記法

正規直交基底のうち2つのラベルを α, β として、内積をブラ-ケット記法で表すと、離散基底ではクロネッカーのデルタを用いて ⟨ α 。 β ⟩ = δ α , β , {\displaystyle \langle \alpha |\beta \rangle =\delta _{\alpha ,\beta },}

連続基底ではデルタ関数を用いて ⟨ α 。 β ⟩ = δ ( α − β ) {\displaystyle \langle \alpha |\beta \rangle =\delta (\alpha -\beta )}

となる。

また正規直交基底の完全性は離散基底について、 ∑ α 。 α ⟩ ⟨ α 。 = 1 {\displaystyle \sum _{\alpha }|\alpha \rangle \langle \alpha |=1}

連続基底について、 ∫ d α   。 α ⟩ ⟨ α 。 = 1 {\displaystyle \int \mathrm {d} \alpha ~|\alpha \rangle \langle \alpha |=1}

と表現される。ただし連続基底の場合の記述は数学的に逸脱があり、本来ヒルベルト空間の元として存在しない「固有ベクトル」 。 α ⟩ {\displaystyle |\alpha \rangle } があるかのように書いている[4]（量子力学の数学的定式化#スペクトル分解と観測も参照）。
第二量子化とブラケット記法

第二量子化された粒子生成演算子 a† を用いて2粒子状態を 。 α β ⟩ = a α † a β † 。 0 ⟩ {\displaystyle |\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle }

と定義する。この時 a† がフェルミ粒子を表す演算子なら、これらは反交換関係 {a †
α , a †
β } = 0 を満たすので、 。 α β ⟩ = a α † a β † 。 0 ⟩ = − a β † a α † 。