テトレーション（英: tetration）とは、冪乗の次となる4番目のハイパー演算である。つまり、自らの冪乗を指定された回数反復する二項演算である。超冪（ちょうべき）ともいう。テトレーションという語はルーベン・グッドスタイン（英語版）によって、「4」を意味する接頭辞 tetra- と「繰り返し」を意味する iteration から作り出された[1]。
定義

任意の正の実数 a > 0 および非負整数 n ≥ 0 に対し、次のようにテトレーション na を再帰的に定める。 n a := { 1 if  n = 0 a [ ( n − 1 ) a ] if  n > 0 {\displaystyle {}^{n}a:={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0\\a^{\left[{}^{(n-1)}a\right]}&{\text{if }}n>0\end{cases}}}

冪乗の演算が右結合、すなわち 101010 のように積みあがった指数の上側から計算していくように、テトレーションの計算も na に対する n の部分から計算していく。

定義から直ちに、次の等式が成り立つ。 log a ⁡ ( n + 1 a ) = n a {\displaystyle \log _{a}\left({}^{n+1}a\right)={}^{n}a}

a と 10 が互いに素であるとき、na の最後の d 桁がオイラーの定理から求められる。
表記

テトレーションには多数の表記が存在する。テトレーションに使われる表記の中にはペンテーションやヘキセーションなど、より高次のハイパー演算の表記にも使用できるものもいくつかある。

名称表記説明
ルーディ・ラッカーの表記 n a {\displaystyle {}^{n}a} マウラー[2][3]とグッドスタイン（英語版）[1]によって導入され、ルーディ・ラッカーの『無限と心（英語版）』で広まった。
クヌースの矢印表記 a ↑↑ n , a ↑ 2 n {\displaystyle a\uparrow \uparrow n,a\uparrow ^{2}n} 矢印または添字を増やすことで拡張できる。
コンウェイのチェーン表記 a → n → 2 {\displaystyle a\to n\to 2} 数字を増やす、またはチェーンを拡張することで拡張できる。
アッカーマン関数 n 2 = Ack ⁡ ( 4 , n − 3 ) + 3 {\displaystyle {}^{n}2=\operatorname {Ack} (4,n-3)+3} 底が 2 のときに限り、アッカーマン関数による表記が可能。
指数関数の反復合成による表示 n a = exp a n ⁡ ( 1 ) {\displaystyle {}^{n}a=\exp _{a}^{n}(1)} 右辺の表記に関しては後述。
フーシュマンドの表記 uxp a ⁡ ( n ) , a n _ {\displaystyle \operatorname {uxp} _{a}(n),a^{\underline {n}}} フーシュマンドの論文では「ultra power」（超冪）と書かれている[4]。
ハイパー演算子表記 a [ 4 ] n , H 4 ( a , n ) {\displaystyle a[4]n,H_{4}(a,n)}
hyper ⁡ ( a , 4 , n ) , hyper4 ⁡ ( a , n ) {\displaystyle \operatorname {hyper} (a,4,n),\operatorname {hyper4} (a,n)} 数字を増やすことで拡張でき、一連のハイパー演算子を与える。
ASCII表記a^^nASCII文字で表現する際、冪乗をキャレット^で表すことから。
バウアーズの配列表記 { a , b , 2 } {\displaystyle \lbrace a,b,2\rbrace } 拡張配列表記へと一般化でき、さらにBEAFおよびバードの配列表記へと一般化される[5]。

反復指数関数

反復指数関数（英: iterated exponential function）、あるいは反復冪（英: iterated exponential）とは指数関数の反復合成、あるいはその類似の関数およびその値を指して呼ばれる関数である[6][7]。以降で表記を簡単にするため、非負整数 n と正実数 a の2つのパラメータを持つ実関数 e x p a n ⁡ ( x ) {\displaystyle \mathop {\mathrm {exp} } \nolimits _{a}^{n}(x)} を次のように定義する： exp a n ⁡ ( x ) = a a ⋅ ⋅ a x {\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)=a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}} （n 個の a の上に x が乗っている）

この関数は他に次のような表記で書かれる。

名称表記説明
（指数の反復合成） exp a n ⁡ ( x ) {\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)} 指数関数の表記 exp a ⁡ ( x ) {\displaystyle \exp _{a}(x)} はオイラーによる。
クヌースの矢印表記 ( a ↑ ) n ( x ) {\displaystyle \left(a{\uparrow }\right)^{n}(x)} 矢印の数を増やすことで拡張できる。en:Large numbersを参照。
ガリダキスの表記 n ( a , x ) {\displaystyle {}^{n}(a,x)} 底の表記が小さくならない[8]。
ASCII表記exp_a^n(x)標準的な表記をベースにASCII文字のみを使用した表記。
J言語表記[9]x^^:(n-1)x

例

以下の表では、大部分の値が指数表記による表記すら困難なほど巨大であるため、それらの表記には底を 10 とした反復指数関数を用いた。なお小数部を持つ値はすべて近似値である。

x {\displaystyle x} 2 x {\displaystyle {}^{2}x} 3 x {\displaystyle {}^{3}x} 4 x {\displaystyle {}^{4}x}
11 (11)1 (11)1 (11)
24 (22)16 (24)65,536 (216)
327 (33)7,625,597,484,987 (327)1.258015 × 103,638,334,640,024
4256 (44)1.34078 ×10154 (4256) exp 10 3 ⁡ ( 2.18726 ) {\displaystyle \exp _{10}^{3}(2.18726)} (8.1 × 10153 桁)
53,125 (55)1.91101 × 102,184 (53,125) exp 10 3 ⁡ ( 3.33928 ) {\displaystyle \exp _{10}^{3}(3.33928)} (1.3 × 102,184 桁)
646,656 (66)2.65912 × 1036,305 (646,656) exp 10 3 ⁡ ( 4.55997 ) {\displaystyle \exp _{10}^{3}(4.55997)} (2.1 × 1036,305 桁)
7823,543 (77)3.75982 × 10695,974 (7823,543) exp 10 3 ⁡ ( 5.84259 ) {\displaystyle \exp _{10}^{3}(5.84259)} (3.2 × 10695,974 桁)