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ツェラーの公式（ツェラーのこうしき、英: Zeller's congruence）とは西暦（グレゴリオ暦またはユリウス暦）の年・月・日から、その日が何曜日であるかを算出する公式である。クリスティアン・ツェラー (Christian Zeller) が考案した[1]。ユリウス通日を求め、そこから曜日を求める計算と本質は同じである。 y {\displaystyle y} 年 m {\displaystyle m} 月 d {\displaystyle d} 日の曜日を求める。 ただし、1月と2月は、前年のそれぞれ13月・14月として扱う。たとえば、2024年1月1日・2月1日は、2023年13月1日・14月1日とする。また、紀元前 y ^ {\displaystyle {\hat {y}}} 年は西暦 1 − y ^ {\displaystyle 1-{\hat {y}}} 年として扱う。たとえば、紀元前1年・前2年・前3年は、0年・?1年・?2年となる（天文学的紀年法）。 曜日 h {\displaystyle h} （ h {\displaystyle h} は、0?6で土曜日?金曜日を表す。） は次の式で求められる： h = { d + ⌊ 26 ( m + 1 ) 10 ⌋ + Y + ⌊ Y 4 ⌋ + Γ } mod 7 {\displaystyle h=\left\{d+\left\lfloor {\frac {26(m+1)}{10}}\right\rfloor +Y+\left\lfloor {\frac {Y}{4}}\right\rfloor +{\mathit {\Gamma }}\right\}\mod 7} Γ {\displaystyle {\mathit {\Gamma }}} はグレゴリオ暦 (Gregorian) かユリウス暦 (Julian) かで変わる項で、 Γ = { − 2 C + ⌊ C 4 ⌋ : Gregorian ( 1582 ⪅ y ) − C + 5 : Julian ( 4 ⪅ y ⪅ 1582 ) {\displaystyle {\mathit {\Gamma }}={\begin{cases}-2C+\left\lfloor {\frac {C}{4}}\right\rfloor &{\mbox{: Gregorian }}(1582\lessapprox y)\\-C+5&{\mbox{: Julian }}(4\lessapprox y\lessapprox 1582)\end{cases}}} ただし C = ⌊ y 100 ⌋ {\displaystyle C=\left\lfloor {\frac {y}{100}}\right\rfloor } Y = y mod 100 {\displaystyle Y=y\mod 100} 。 ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } はxを超えない（x以下）の最大の整数（床関数）であり、 x mod n {\displaystyle x\mod n} は x {\displaystyle x} を n {\displaystyle n} で割った剰余である。 C {\displaystyle C} と Y {\displaystyle Y} は、（西暦が4桁の場合）西暦の上2桁と下2桁を表す中間変数で、たとえば2024年なら、それぞれ20と24になる。 日付の国際規格である ISO 8601が定める D {\displaystyle D} （1?7で月曜日?日曜日）を求めるには、次の式 D = [ { d + ⌊ 26 ( m + 1 ) 10 ⌋ + Y + ⌊ Y 4 ⌋ + Γ + 5 } mod 7 ] + 1 {\displaystyle D=\left[\left\{d+\left\lfloor {\frac {26(m+1)}{10}}\right\rfloor +Y+\left\lfloor {\frac {Y}{4}}\right\rfloor +{\mathit {\Gamma }}+5\right\}\mod 7\right]+1} を使う。 以上の2つの計算式は、それぞれの暦を過去または未来に単純に延長して使うのであれば、年数の有効範囲の限界はない。しかし歴史上の実際の年月日についての曜日を知るには、グレゴリオ暦に切り替わった日付に注意が必要である（グレゴリオ暦#各国・各地域における導入を参照）。さらに西暦4年3月1日以前の実際の年月日についての曜日を知るには、閏年の規則そのものが異なるので、上記の計算式におけるユリウス暦の公式も適用できない。 コンピュータの多くの環境では負数の剰余を保証しないので、整数の合同関係を使って Γ = { 5 C + ⌊ C 4 ⌋ : Gregorian ( 1582 ⪅ y ) 6 C + 5 : Julian ( 4 ⪅ y ⪅ 1582 ) {\displaystyle {\mathit {\Gamma }}={\begin{cases}5C+\left\lfloor {\frac {C}{4}}\right\rfloor &{\mbox{: Gregorian }}(1582\lessapprox y)\\6C+5&{\mbox{: Julian }}(4\lessapprox y\lessapprox 1582)\end{cases}}} と変形する。 西暦0年（紀元前1年）3月1日以前に対する場合、 C {\displaystyle C} と Y {\displaystyle Y} を求める式にも修正が必要である。適度に大きい100の倍数を y {\displaystyle y} に足して、負にならないようにする。 ツェラーの公式はフェアフィールド (Fairfield) の公式の変形である。以下に、グレゴリオ暦を例に、その変形過程を記載する。 1年1月1日（0年13月1日） ? y 年 m 月 d 日の日数を求める。ただし、m = 1, 2 の場合は、y = y ? 1, m = m + 12とし、1年を、3月1日 ? 14月28日（閏年は29日）と再定義する。 1年1月1日（0年13月1日）を含めた、y 年 m 月 d 日迄の日数は以下の通り。 1年1月1日（0年13月1日） ? 1年2月28日（0年14月28日） ・・・ 31 + 28 （日） 1年3月1日 ? ( y ? 1 ) 年14月末日（この時点では閏年は考慮しない） ・・・ 365 ( y ? 1 ) （日） 1年1月1日（0年13月1日） ? ( y ? 1 ) 年14月末日の閏年の回数 ・・・ [ ( 1 + ( y ? 1 ) ) / 4 ) ] - [ ( 1 + ( y ? 1 ) ) / 100 ) ] + [ ( 1 + ( y ? 1 ) ) / 400 ) ] = [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] （日） y 年3月1日 ? y 年 ( m ? 1 ) 月末日 ・・・ [ 306 ( m + 1 ) / 10 ] ? 122 （日） （以下表を参照）
公式
コンピュータでの計算
ツェラーの公式の導出
フェアフィールドの公式
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
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