この項目「チェビシェフ多項式」は翻訳されたばかりのものです。不自然あるいは曖昧な表現などが含まれる可能性があり、このままでは読みづらいかもしれません。（原文：planetmath chebyshevpolynomial v11 (2013-03-22)より翻訳）
修正、加筆に協力し、現在の表現をより自然な表現にして下さる方を求めています。ノートページや履歴も参照してください。（2013年7月）
最初の5つの第一種チェビシェフ多項式 Tn(x), (−1?x?+1, n=0,...,4)

第一種チェビシェフ多項式（英: Chebyshev polynomials of the first kind）は、以下の式で定義される[1]: T n ( x ) = cos ⁡ ( n t ) , {\displaystyle T_{n}(x)=\cos(nt),} ただし x = cos t

これは三角多項式（trigonometric polynomial）、直交多項式の一例である[1]。

これはcos(kt)をコサインの加法定理を用いてcos(t)の多項式で表したものと見ることができる。 cos ⁡ 1 t = cos ⁡ t , cos ⁡ 2 t = 2 cos 2 ⁡ t − 1 , cos ⁡ 3 t = 4 cos 3 ⁡ t − 3 cos ⁡ t , … {\displaystyle {\begin{aligned}\cos 1t&=\cos t,\\\cos 2t&=2\cos ^{2}t-1,\\\cos 3t&=4\cos ^{3}t-3\cos t,\dots \end{aligned}}}

従って、以下の式を得る。 T 0 ( x ) = 1 , T 1 ( x ) = x , T 2 ( x ) = 2 x 2 − 1 , T 3 ( x ) = 4 x 3 − 3 x , … {\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1,\\T_{1}(x)&=x,\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1,\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x,\dots \end{aligned}}}

これらの多項式は次の三項漸化式に従うことがわかる。 T n + 1 ( x ) = 2 x T n ( x ) − T n − 1 ( x ) {\displaystyle T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)} （ただしn = 1, 2, …）最初の5つの第二種チェビシェフ多項式 Un(x), (−1?x?+1, n=0,...,4)

第二種チェビシェフ多項式（英: Chebyshev polynomials of the second kind）は U n − 1 ( cos ⁡ t ) = sin ⁡ n t / sin ⁡ t {\displaystyle U_{n-1}(\cos t)=\sin nt/\sin t} によって定義される。これは先ほどと同様の議論または n U n − 1 ( t ) = T n ′ ( t ) {\displaystyle nU_{n-1}(t)=T'_{n}(t)} の関係を用いれば類似した多項式と見ることができる。

従って、最初の数個を列挙すれば以下のようになる。 U 0 ( x ) = 1 , U 1 ( x ) = 2 x , U 2 ( x ) = 4 x 2 − 1 , U 3 ( x ) = 8 x 3 − 4 x , … {\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1,\\U_{1}(x)&=2x,\\U_{2}(x)&=4x^{2}-1,\\U_{3}(x)&=8x^{3}-4x,\dots \end{aligned}}}