幾何学において、チェビアン（英:Cevian）またはチェバ線[1]とは三角形の頂点とその対辺を結ぶ線分の総称である[2][3]。中線や角の二等分線などはチェビアンの特別な場合である。チェビアンに関する有名な定理を発表したジョバンニ・チェバに由来する[4]。
長さ三角形とそのチェビアンd
スチュワートの定理

チェビアンの長さdはスチュワートの定理を用いて次の様に求めることができる。 b 2 m + c 2 n = a ( d 2 + m n ) . {\displaystyle \,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).}
中線

チェビアンが中線である場合、中線定理を用いることができる。 m ( b 2 + c 2 ) = a ( d 2 + m 2 ) {\displaystyle \,m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})} 2 ( b 2 + c 2 ) = 4 d 2 + a 2 {\displaystyle \,2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}} d = 2 b 2 + 2 c 2 − a 2 2 . {\displaystyle d={\frac {\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}{2}}.}

ただし a = 2 m . {\displaystyle \,a=2m.}
角の二等分線

チェビアンが角の二等分線の場合、以下の様に求められる[5]。 ( b + c ) 2 = a 2 ( d 2 m n + 1 ) , {\displaystyle \,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),} d 2 + m n = b c {\displaystyle d^{2}+mn=bc} d = 2 b c s ( s − a ) b + c {\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}}

ただし、sは半周長（ s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\tfrac {a+b+c}{2}}} ）
頂垂線

チェビアンが頂垂線である場合、以下の様に求められる。 d 2 = b 2 − n 2 = c 2 − m 2 {\displaystyle \,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}} d = 2 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) a , {\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}},}
比率3つのチェビアンが共点

図の様に、それぞれの頂点に対するチェビアンが内部の点で交わっているとき、以下の式が成り立つ[6]。 A F ¯ F B ¯ ⋅ B D ¯ D C ¯ ⋅ C E ¯ E A ¯ = 1 A O ¯ O D ¯ = A E ¯ E C ¯ + A F ¯ F B ¯ ; O D ¯ A D ¯ + O E ¯ B E ¯ + O F ¯ C F ¯ = 1 ; A O ¯ A D ¯ + B O ¯ B E ¯ + C O ¯ C F ¯ = 2. {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=1\\&\\&{\frac {\overline {AO}}{\overline {OD}}}={\frac {\overline {AE}}{\overline {EC}}}+{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}};\\&\\&{\frac {\overline {OD}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {OE}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {OF}}{\overline {CF}}}=1;\\&\\&{\frac {\overline {AO}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {BO}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {CO}}{\overline {CF}}}=2.\end{aligned}}}