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「ダランベールの定理」はこの項目へ転送されています。古典力学における慣性力の扱いに関する原理については「ダランベールの原理」をご覧ください。

ダランベールの収束判定法（ダランベールのしゅうそくはんていほう、ratio test）とは、実数や複素数を項にもつ級数が、収束するか発散するかを判定する方法である。級数における、前後の項の比を考える。もし、この比の極限が 1 未満であれば、級数は絶対収束する。

この判定法は、ジャン・ル・ロン・ダランベールによって発表された。
判定法

厳密には、ダランベールの収束判定法は、次のように述べられる。 lim n → ∞ 。 a n + 1 a n 。 < 1 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1}

であれば、級数 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}

は絶対収束する。また、 lim n → ∞ 。 a n + 1 a n 。 > 1 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1}

であれば、級数は発散する。

もし、極限がちょうど 1 であれば、級数は収束する場合もあるし、発散する場合もある。従って、この場合は、ダランベールの収束判定法ではどちらとも言えない。
例
収束する場合

まず基本的な級数であるべき級数 ∑ n = 1 ∞ z n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}}

は 。 z 。 < 1 {\displaystyle |z|<1} で収束することは広く知られているがこれを再度ダランベールの収束判定法で確かめることが出来る： lim n → ∞ 。 a n + 1 a n 。 = lim n → ∞ 。 z n + 1 / z n 。 = 。 z 。 < 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|z^{n+1}/z^{n}\right|\\&=|z|<1\end{aligned}}}

これをモデルケースとして覚えればこの収束判定法も覚えやすい。

次の級数を考える。 ∑ n = 1 ∞ n e n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}}

これに、ダランベールの収束判定法を適用すると、 lim n → ∞ 。 a n + 1 a n 。 = lim n → ∞ 。 n + 1 e n + 1 n e n 。 = lim n → ∞ 。 ( 1 + 1 n ) 1 e 。 = 1 e < 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\;{\dfrac {n+1}{e^{n+1}}}\;}{\dfrac {n}{e^{n}}}}\right|\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\left(1+{\frac {1}{n}}\right){\frac {1}{e}}\right|\\&={\frac {1}{e}}<1\end{aligned}}}

.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/eは1より小さいため、級数は収束する。
発散する場合

次の級数を考える。 ∑ n = 1 ∞ e n n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}}

これに、ダランベールの収束判定法を適用すると、 lim n → ∞ 。 a n + 1 a n 。 = lim n → ∞ 。 e n + 1 n + 1 e n n 。