ストークスの定理（ストークスのていり、英: Stokes' theorem）は、ベクトル解析の定理のひとつである。3次元ベクトル場の回転を閉曲線を境界とする曲面上で面積分したものが、元のベクトル場を曲面の境界である閉曲線上で線積分したものと一致することを述べる[1]。定理の名はイギリスの物理学者ジョージ・ガブリエル・ストークスに因む[2][3]。ベクトル解析におけるグリーン・ガウス・ストークスの定理を、より一般的な向きづけられた多様体上に拡張したものも、同様にストークスの定理と呼ばれる。微分積分学の基本定理の、多様体への拡張であるともいえる。目次

1 ストークスの定理

2 微分形式による表現

3 微分形式による一般化

4 歴史

5 応用

5.1 アンペールの法則

5.2 ファラデーの電磁誘導の法則


6 脚注

7 参考文献

8 関連項目

ストークスの定理

ベクトル解析におけるストークスの定理は、ベクトル場の回転を曲面上で面積分したものが、元のベクトル場を曲面の境界で線積分したものに一致することを述べたものであり、以下のように記述される。(詳細は、ケルビン・ストークスの定理を参照のこと) ∬ S ∇ × A ⋅ d S = ∬ S rot ⁡ A ⋅ d S = ∫ C A ⋅ d l {\displaystyle \iint _{S}{\boldsymbol {\mathit {\nabla \!\times \!A}}}\cdot d{\boldsymbol {\mathit {S}}}=\iint _{S}{\boldsymbol {\mathit {\operatorname {rot} A}}}\cdot d{\boldsymbol {\mathit {S}}}=\int _{C}{\boldsymbol {\mathit {A}}}\!\cdot \!d{\boldsymbol {\mathit {l}}}}

ここで S は積分範囲の面、C はその境界の曲線である。ストークスの定理を用いることで、電磁気学ではマクスウェルの方程式からアンペールの法則などを導くことができる。
微分形式による表現

多様体における微分形式の理論を用いれば、ストークスの定理を洗練された形式で表現できるともに、背後に存在する一般化された定式化を示唆する。ベクトル場の線積分は1形式の積分、ベクトル場の回転の面積分は2形式の積分で書き表すことができ、C が S の境界であることを明示的に表すために ∂S と記せば、ストークスの定理は ∫ S ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) d y ∧ d z + ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) d z ∧ d x + ( d Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x ∧ d y = ∫ ∂ S P d x + Q d y + R d z {\displaystyle \int _{S}{\biggl (}{\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}{\biggr )}dy\wedge dz+{\biggl (}{\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}{\biggr )}dz\wedge dx+{\biggl (}{\frac {dQ}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}{\biggr )}dx\wedge dy=\int _{\partial S}Pdx+Qdy+Rdz}