スターリング数（スターリングすう、英: Stirling number）は、上昇階乗冪 (rising factorial) や下降階乗冪 (falling factorial) を数値の冪乗と関係づけるための級数の展開係数として、イギリスの数学者ジェームズ・スターリング
（英語版）が1730年に彼の著書 Methodus Differentialis で導入した数[1]である。スターリング数は第1種スターリング数と、第2種スターリング数に分類される。第1種スターリング数はべき乗から階乗への変換に、第2種スターリング数は階乗からべき乗への変換に現れる。また、スターリング数は組合せ数学において意味をもった数値を与える。第1種スターリング数 (en:Stirling numbers of the first kind
) [ n k ] {\displaystyle [{\textstyle {n \atop k}}]} は、上昇階乗冪 x n ¯ ≡ x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋯ ( x + n − 1 ) {\displaystyle x^{\overline {n}}\equiv x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)} を x {\displaystyle x} のべき級数： x n ¯ = ∑ k = 0 n [ n k ] x k {\displaystyle x^{\overline {n}}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}\displaystyle \left[{n \atop k}\right]\,x^{k}}で表現したときの展開係数として定義される。この定義では 0 ≤ k ≤ n {\displaystyle 0\leq k\leq n} である。また、便宜上 [ 0 0 ] = 1 {\displaystyle [{\textstyle {0 \atop 0}}]=1} と定義する。第1種スターリング数は、 [ n k ] = [ n − 1 k − 1 ] + ( n − 1 ) [ n − 1 k ] {\displaystyle \left[{n \atop k}\right]=\left[{n-1 \atop k-1}\right]+(n-1)\,\left[{n-1 \atop k}\right]}
なる漸化式で計算できる。この漸化式は、べき級数の展開係数としての定義から導出できる。第1種スターリング数の中で、簡単な数式で書ける成分として、 [ n 0 ] = 0 , [ n 1 ] = ( n − 1 ) ! , [ n n − 1 ] = ( n 2 ) , [ n n ] = 1 {\displaystyle \left[{n \atop 0}\right]=0,\quad \left[{n \atop 1}\right]=(n-1)!,\quad \left[{n \atop n-1}\right]=\left({n \atop 2}\right),\quad \left[{n \atop n}\right]=1}
が挙げられる。なお、 ( n 2 ) {\displaystyle ({\textstyle {n \atop 2}})} は二項係数（二項定理を参照）である。これらは上記の漸化式を用いれば証明できる。特に、第1の関係式は、 0 n ¯ = 0 {\displaystyle 0^{\overline {n}}=0} であることから導くこともできる。上に示した漸化式に従い、第1種スターリング数は下表のように計算される。なお、表中の空欄に位置する数値はゼロであると解釈する。
n ＼ k01234567
01
101
2011
30231
4061161
50245035101
6012027422585151
7072017641624735175211
下降階乗冪 x n _ ≡ x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n + 1 ) {\displaystyle x^{\underline {n}}\equiv x\,(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)} も第1種スターリング数を含む展開係数を伴い、 x {\displaystyle x} のべき級数で表現できる。具体的には、 x n _ = ∑ k = 0 n ( − 1 ) n + k [ n k ] x k {\displaystyle x^{\underline {n}}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}\displaystyle \left[{n \atop k}\right]\,x^{k}}
と書けるので、展開係数は第1種スターリング数に符号補正 ( − 1 ) n + k {\displaystyle (-1)^{n+k}} を施した値である。この展開式は、 x n _ = x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n + 1 ) = ( − 1 ) n ⋅ ( − x ) ( − x + 1 ) ( − x + 2 ) ⋯ ( − x + n − 1 ) = ( − 1 ) n ( − x ) n ¯ {\displaystyle {\begin{aligned}x^{\underline {n}}&=x\,(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)\\&=(-1)^{n}\cdot (-x)(-x+1)(-x+2)\cdots (-x+n-1)\\&=(-1)^{n}\,(-x)^{\overline {n}}\end{aligned}}}
であることに注意すれば容易に証明できる。 第1の関係式は、 1 n ¯ = n ! {\displaystyle 1^{\overline {n}}=n!} から導かれる。第2の関係式は 2 n ¯ = ( n + 1 ) ! {\displaystyle 2^{\overline {n}}=(n+1)!} から導かれる。第3の関係式は n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} に関して、 ( − 1 ) n ¯ = 0 {\displaystyle (-1)^{\overline {n}}=0} であることから導かれる。 第1種スターリング数はベルヌーイ数 B k {\displaystyle B_{k}} と次のような関係がある。 1 m ! ∑ k = 0 m [ m + 1 k + 1 ] B k = 1 m + 1 , 1 ( m − 1 ) ! ∑ k = 0 m [ m k ] B k = − 1 m + 1 ( m ≥ 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{m!}}\textstyle \sum \limits _{k=0}^{m}\displaystyle \left[{m+1 \atop k+1}\right]\,B_{k}={\frac {1}{m+1}},\\&{\frac {1}{(m-1)!}}\textstyle \sum \limits _{k=0}^{m}\displaystyle \left[{m \atop k}\right]\,B_{k}=-{\frac {1}{m+1}}\quad (m\geq 1).\end{aligned}}}
第1種スターリング数の性質 ∑ k = 0 n [ n k ] = n ! , ∑ k = 0 n 2 k [ n k ] = ( n + 1 ) ! , ∑ k = 0 n ( − 1 ) k [ n k ] = 0 ( n ≥ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}\displaystyle \left[{n \atop k}\right]=n!,\\&\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}2^{k}\displaystyle \left[{n \atop k}\right]=(n+1)!,\\&\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}(-1)^{k}\displaystyle \left[{n \atop k}\right]=0\quad (n\geq 2)\end{aligned}}}