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log n! と n log n − n は n → ∞ のとき漸近する

スターリングの近似（英: Stirling's approximation）またはスターリングの公式（英: Stirling's formula）は、階乗、あるいはその拡張の一つであるガンマ関数の漸近近似である。名称は数学者ジェイムズ・スターリング（英語版）にちなむ。
概要

スターリングの近似は精度に応じていくつかの形がある。応用上よく使われる形の公式は、ランダウの記号を用いて、 log ⁡ n ! = n log ⁡ n − n + O ( log ⁡ n ) {\displaystyle \log n!=n\log n-n+O(\log n)}

である。O(log n) における次の項は (1/2)log 2πn である。故に、次によい近似の漸近公式（英語版）は n ! ∼ 2 π n ( n e ) n {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}

である[1]。（ここで記号 ∼ {\displaystyle \sim } は両辺の比が（n → ∞ のとき） 1 に収束することを意味する。）

n! の漸近近似よりもむしろ上下からの評価が必要なことがある。そのような評価として、任意の正の整数 n に対して 2 π n n + 1 / 2 e − n ≤ n ! ≤ e n n + 1 / 2 e − n {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\,n^{n+1/2}e^{-n}\leq n!\leq en^{n+1/2}e^{-n}}

が成り立ち[2]、従って任意の n に対して比 n!/(nn+1/2e−n) は √2π = 2.5066... と e = 2.71828... の間にある。

スターリングの近似は階乗の複素引数への拡張の一つであるガンマ関数 Γ(z)（正の整数 n に対し Γ(n) = (n − 1)! が成り立つ；ボーア・モレルップの定理も参照）に拡張することができ、 Γ ( z ) ∼ 2 π z ( z e ) z ( 。 arg ⁡ z 。 ≤ π − ε , 。 z 。 → ∞ ) {\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\qquad (\vert \arg z\vert \leq \pi -\varepsilon ,\;\vert z\vert \to \infty )}

が成り立つ（ただし ε > 0）[3]。|arg z 。→ π のときは収束が遅くなるため、応用上は相補公式などを用いて |arg z 。≤ π/2 程度に制限することが多い。
導出
初等的な導出

スターリングの公式の厳密な証明にはオイラーの和公式、あるいは鞍点法といった複素解析の技法などを用いられることが多いが、初等的に導くことも可能である。まず階乗の対数を積分で近似する。logが凹関数であることから k-1<x<k (k=2,3,...) に対して log ⁡ k − ( k − x ) { log ⁡ k − log ⁡ ( k − 1 ) } < log ⁡ x < log ⁡ k − 1 k ( k − x ) {\displaystyle \log k-(k-x)\{\log k-\log(k-1)\}\;<\;\log x\;<\;\log k-{\frac {1}{k}}(k-x)}

これを k-1 から k まで積分して log ⁡ k − 1 2 { log ⁡ k − log ⁡ ( k − 1 ) } < ∫ k − 1 k log ⁡ x d x < log ⁡ k − 1 2 k ∫ k − 1 k log ⁡ x d x + 1 2 k < log ⁡ k < ∫ k − 1 k log ⁡ x d x + 1 2 { log ⁡ k − log ⁡ ( k − 1 ) } {\displaystyle {\begin{aligned}&\log k-{\frac {1}{2}}\{\log k-\log(k-1)\}\;<\;\int _{k-1}^{k}\log x\,dx\;<\;\log k-{\frac {1}{2k}}\\&\int _{k-1}^{k}\log x\,dx+{\frac {1}{2k}}\;<\;\log k\;<\;\int _{k-1}^{k}\log x\,dx+{\frac {1}{2}}\{\log k-\log(k-1)\}\end{aligned}}}

k=m+1,m+2,...,n に対して足し合わせると log ⁡ n ! m ! = ∑ k = m + 1 n log ⁡ k > ∫ m n log ⁡ x d x + ∑ k = m + 1 n 1 2 k > ∫ m n log ⁡ x d x + 1 2 n − 1 2 m + ∫ m n 1 2 x d x = ( n + 1 / 2 ) log ⁡ n − n + 1 / ( 2 n ) − ( m + 1 / 2 ) log ⁡ m + m − 1 / ( 2 m ) log ⁡ n ! m ! = ∑ k = m + 1 n log ⁡ k < ∫ m n log ⁡ x d x + 1 2 { log ⁡ n − log ⁡ m } = ( n + 1 / 2 ) log ⁡ n − n − ( m + 1 / 2 ) log ⁡ m + m {\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {n!}{m!}}&=\sum _{k=m+1}^{n}\log k\\&>\int _{m}^{n}\log x\,dx+\sum _{k=m+1}^{n}{\frac {1}{2k}}\\&>\int _{m}^{n}\log x\,dx+{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{2m}}+\int _{m}^{n}{\frac {1}{2x}}\,dx\\&=(n+1/2)\log n-n+1/(2n)-(m+1/2)\log m+m-1/(2m)\\\log {\frac {n!}{m!}}&=\sum _{k=m+1}^{n}\log k\\&<\int _{m}^{n}\log x\,dx+{\frac {1}{2}}\{\log n-\log m\}\\&=(n+1/2)\log n-n-(m+1/2)\log m+m\end{aligned}}} n n + 1 / 2 e − n + 1 / ( 2 n ) m m + 1 / 2 e − m + 1 / ( 2 m ) < n ! m ! < n n + 1 / 2 e − n m m + 1 / 2 e − m {\displaystyle {\frac {n^{n+1/2}e^{-n+1/(2n)}}{m^{m+1/2}e^{-m+1/(2m)}}}<{\frac {n!}{m!}}<{\frac {n^{n+1/2}e^{-n}}{m^{m+1/2}e^{-m}}}}