ユークリッド幾何学において、シュタイナー点（シュタイナーてん、英: Steiner point）は三角形の中心の一つである[1]クラーク・キンバリング
（英語版）の「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(99)として登録されている[2]。1826年、スイスの数学者ヤコブ・シュタイナーによって言及され、1886年、ジョセフ・ノイベルグ（英語版）によって名付けられた[2][3]。なお、頂点との距離の和を最小にする点をシュタイナー点と言う場合もある（フェルマー点、シュタイナー木を参照）[4]。シュタイナー点の定義は以下のとおりである.(これはシュタイナー自身が採用した定義ではない[2])。三角形 ABC の外心をO、類似重心をK とする。OK を直径とする円ブロカール円とBCの垂直二等分線のOでない方の交点をA'とする。B',C'についても同様に定める (この三角形A'B'C'はブロカール三角形と呼ばれる)。LAをAを通りB'C' に平行な直線とする。LB,LCも同様に定義する。このときLA,LB,LCは共点で、その点を三角形ABCのシュタイナー点と言う。
「Encyclopedia of Triangle Centers」で採用された定義は以下の通りである。三角形 ABC についてO,Kを上記のように定める。lAを、OK をBCで鏡映した点とする。lB,lCも同様に定義する。lBとlCの交点をA″ 、lCとlA の交点をB″、lAとlBの交点をC″とすると、直線 AA″, BB″ , CC″ は共点であり、その点をシュタイナー点という。 シュタイナー点の三線座標は以下の様に与えられる。 b c b 2 − c 2 : c a c 2 − a 2 : a b a 2 − b 2 {\displaystyle {\frac {bc}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {ca}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {ab}{a^{2}-b^{2}}}} = b 2 c 2 csc ( B − C ) : c 2 a 2 csc ( C − A ) : a 2 b 2 csc ( A − B ) {\displaystyle =b^{2}c^{2}\csc(B-C):c^{2}a^{2}\csc(C-A):a^{2}b^{2}\csc(A-B)}
三線座標
性質
シュタイナー楕円と外接円の第四交点である。
シュタイナー点のチェバ三角形はシュタイナー三角形と呼ばれ、キーペルト放物線のPolar triangleである。また、シュタイナー点はキーペルト放物線のブリアンション点である。
カナダの数学者ロス・ホンスバーガー
シュタイナー点に対する三角形ABCのシムソン線は外心と類似重心を通る直線(ブロカール軸)に平行である。
タリ―点詳細は「タリー点」を参照A を通るB'C'の垂線、Bを通るC'A'の垂線、Cを通るA'B'の垂線はタリ―点で交わる。
シュタイナー点と似た性質を持つ点がタリ―点である。三角形ABCの外接円の、シュタイナー点の対蹠点をタリ―点と言う。「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(98)として登録されている。タリ―点の三線座標は以下の式で与えられる。 sec ( A + ω ) : sec ( B + ω ) : sec ( C + ω ) {\displaystyle \sec(A+\omega ):\sec(B+\omega ):\sec(C+\omega )} = f ( a , b , c ) : f ( b , c , a ) : f ( c , a , b ) {\displaystyle =f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)} ここで ω は ブロカール角で f ( a , b , c ) = b c b 4 + c 4 − a 2 b 2 − a 2 c 2 {\displaystyle f(a,b,c)={\frac {bc}{b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-a^{2}c^{2}}}} である。
