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シグモイド関数（シグモイドかんすう、英: sigmoid function）は、次の式 ς a ( x ) = 1 1 + e − a x = tanh ( a x / 2 ) + 1 2 {\displaystyle \varsigma _{a}(x)={\frac {1}{1+e^{-ax}}}={\frac {\tanh(ax/2)+1}{2}}}
で表される実関数である。ここで、 a {\displaystyle a} をゲイン (gain) と呼ぶ。シグモイド関数は、生物の神経細胞が持つ性質をモデル化したものとして用いられる。
狭義のシグモイド関数は、ゲインを1とした、標準シグモイド関数（英: standard sigmoid function） ς 1 ( x ) = 1 1 + e − x = tanh ( x / 2 ) + 1 2 {\displaystyle \varsigma _{1}(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {\tanh(x/2)+1}{2}}}
を指す。
名称標準シグモイド関数
シグモイド（英: sigmoid）とは、シグモイド曲線（英: sigmoid curve）ともいい、ギリシャ文字のシグマ（語中では σ だがここでは語末形の ? のこと）に似た形と言う意味である。ただし、単にシグモイドまたはシグモイド曲線と言った場合は、シグモイド関数と似た性質を持つ?型の関数（累積正規分布関数、ゴンペルツ関数、グーデルマン関数など）を総称するのが普通である。
標準シグモイド関数はロジット (logit) の逆関数であり、これになぞらえて統計処理の数値計算ライブラリでは標準シグモイド関数を expit 関数と呼んでいるものもある。 ( − ∞ , ∞ ) → ( 0 , 1 ) {\displaystyle (-\infty ,\infty )\rightarrow (0,1)} の単調増加連続関数で、後述するただ1つの変曲点を持つ。 y = 0 {\displaystyle y=0} と y = 1 {\displaystyle y=1} を漸近線に持ち、 lim x → ∞ ς a ( x ) = 1 lim x → − ∞ ς a ( x ) = 0 lim x → ± ∞ ς a ′ ( x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow \infty }\varsigma _{a}(x)&=1\\\lim _{x\rightarrow -\infty }\varsigma _{a}(x)&=0\\\lim _{x\rightarrow \pm \infty }\varsigma _{a}'(x)&=0\end{aligned}}} である。 また、 x = 0 {\displaystyle x=0} では、 ς a ( 0 ) = 1 2 ς a ′ ( 0 ) = a 4 ς a ″ ( 0 ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\varsigma _{a}(0)&={\frac {1}{2}}\\\varsigma _{a}'(0)&={\frac {a}{4}}\\\varsigma _{a}''(0)&=0\end{aligned}}} である。つまり、変曲点は ( 0 , 1 2 ) {\displaystyle (0,{\frac {1}{2}})} である。
性質
