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1742年6月7日の日付のゴールドバッハからオイラーに宛てた（ラテン語とドイツ語で書かれた）手紙[1]

ゴールドバッハの予想（ゴールドバッハのよそう、英語:Goldbach's conjecture）とは、次のような加法的整数論上の未解決問題の1つである。ゴールドバッハ予想、ゴルドバッハの予想とも[2]。すべての 2 よりも大きな偶数は2つの素数の和として表すことができる[3]。このとき、2つの素数は同じであってもよい。

この予想はウェアリングの問題などと共に古くから知られ、クリスティアン・ゴールドバッハ（Christian Goldbach, 1690年 - 1764年）がレオンハルト・オイラーへの書簡（1742年）で定式化して述べたことからこの名前がついている[4]。

4 × 1018 までの4以上のすべての整数について成立することが2015年に確認[5]されていて一般に正しいと想定されているが、多くの努力にもかかわらず未だに証明されていない。「弱いゴールドバッハ予想」も参照
概要4 から 28 までの偶数を 2つの素数の和としてあらわした。ゴールドバッハは全ての 2よりも大きい偶数が少なくとも一通りで 2つの素数の和として表すことができることを予想した。偶数を二つの素数で表す方法が何通りあるか表したグラフ。

予想には、ほとんど同値ないくつかの述べ方があり、次のように述べることが多い：4以上の全ての偶数は、二つの素数の和で表すことができる。6以上の全ての偶数は、二つの奇素数の和で表すことができる。　素数のうち偶数であるのは、2 のみであるから、偶素数同士の和となるのは、4=2+2 であり、4 のみである。

例えば、6以上で22までの偶数を奇素数の和で表す場合は、 6 = 3 + 3 8 = 3 + 510 = 7 + 3 = 5 + 512 = 5 + 714 = 3 + 11 = 7 + 716 = 3 + 13 = 5 + 1118 = 5 + 13 = 7 + 1120 = 3 + 17 = 7 + 1322 = 11 + 11 = 19 + 3 = 17 + 5

のように、二つの奇素数の和で表すことができる。2012年現在、4×1018までの全ての偶数について成り立つことが、コンピュータによって確かめられている。[6]

ゴールドバッハはこの予想を更に緻密にして、こう予想した。5より大きな任意の自然数は、三つの素数の和で表せる。

これから上が導けるのは、偶数を三つの素数の和で表すと素数の一つは 2 になっているからである（奇数+奇数+奇数=奇数になる。和が偶数になるには、奇数+奇数+偶数か、偶数+偶数+偶数しかない）。

多くの数学者は、素数分布の確率に関する統計学的な観察から、この予想は正しいと考えている（偶数が大きければ大きいほど、二つの素数の和で表されるというのはより"ありそうな"ことなのである）。

類似の予想として、「弱いゴールドバッハ予想」というものがある。これは5より大きい奇数は三つの素数の和で表せるという予想である。4より大きい偶数が二つの奇素数の和で表せるという「強いゴールドバッハ予想」が正しいならば、弱いゴールドバッハ予想も真である。これは 2 n = p 1 + p 2 n > 2 {\displaystyle 2n=p_{1}+p_{2}\quad n>2}

ならば 2 ( n + 1 ) + 1 = p 1 + p 2 + 3 n > 2 {\displaystyle 2(n+1)+1=p_{1}+p_{2}+3\quad n>2\,}

であることから明らかである。ここでp1およびp2は奇素数である。

また、一般化されたリーマン予想が正しいならば、弱いゴールドバッハ予想が導かれることが知られている[7]。
現在までの主な進歩

ノルウェーの数学者ブルンは1920年頃（いくつかの論文に分かれているため曖昧）、エラトステネスの篩を発展させた新しい篩法を用いて、十分大きなすべての偶数は、高々9つの素数の積であるような数の二つの和であることを証明した。

ハーディとリトルウッドは1923年に、L関数に対する一般化されたリーマン予想（の若干弱い形を）を仮定して、全ての奇数 n ≧ n0 が3個の素数の和となるような下限 n0 が存在することを証明し、またその表現の個数の漸近公式を得た。また同様の仮定のもとにほとんどすべての偶数が二つの奇素数で表されること、すなわち例外的な数全体は零集合であることを証明。しかし偶数を二つの奇素数で表す仕方の数の漸近公式については予想するにとどまった。

1930年にソビエトの数学者シュニレルマンは、2個の素数の和で表される数と0, 1からなる集合は正のシュニレルマン密度を持つことをブルンの篩を用いて初等的に示し、シュニレルマンの定理から、すべての自然数が高々 k 個の素数の和であるような、k が存在することを示した。

1937年にソビエトの数学者ヴィノグラードフ（英語版）は三素数の問題に関して、三角和の方法を用いて、一般化されたリーマン予想を仮定することなしに、上記のような定数 n0 （現在、具体的にわかっている。 n 0 = 3 3 15 {\displaystyle n_{0}=3^{3^{15}}} （Borozdin,1939）さらに良い評価として n 0 ≈ 2 × 10 1346 {\displaystyle n_{0}\approx 2\times 10^{1346}} （Liu Ming-Chit and Wang Tian-Ze,2002））の存在を証明した。（ヴィノグラードフの定理参照）

1938年頃、イギリスのエスターマン、ソビエトの数学者チュダコフ、オランダの数学者ヴァン・デア・コルプトらは、それぞれ独立に、なんらの仮定もせずにほとんどすべての偶数は二つの奇素数の和であることを証明した。

1947年、ハンガリーの数学者レーニは大きな篩い（英語版）という新しい方法を用いて、すべての自然数を、素数と高々 k 個の素数の積である数との和で表すことのできるような、k が存在することを証明した。

中国の数学者陳景潤は1978年までに、十分大きなすべての偶数は、素数と高々二つの素数の積であるような数との和で表されることを証明した。下界が山田智宏により与えられている。[8]

1995年、フランスの数学者ラマレはすべての偶数が高々6個の素数の和として表せることを証明した。

2002年、ヒース＝ブラウン（英語版）とシュラーゲ＝プフタは十分大きなすべての偶数は2個の素数と13個の2の冪の和で表され、一般化されたリーマン予想が正しいならば、十分大きなすべての偶数は2個の素数と7個の2の冪の和で表されることを示した。

2009年、ゴールドバッハの予想に関する分散コンピューティングプロジェクト(BOINC)で ⇒Goldbach's Conjecture Projectが開始された。

2013年、ハラルド・ヘルフゴットによって弱いゴールドバッハ予想が証明された。

2015年、4 × 1018 までの4以上の全ての偶数について成立することが確認された[5]。