位相空間がコンパクト（英: compact, /k?m?pakt/[1]）であるとは、後述する所定の性質を満たす「性質の良い」空間であり、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上の有界閉集合の性質を抽象化したもの。

「完閉」という訳語もあるが、ほとんど使われていない。

位相空間Xの部分集合Yに対し、YのXにおける閉包がコンパクトであるときYはXで相対コンパクト（英: relatively compact）であるという。

なおブルバキなどでは、本項でいうコンパクトを準コンパクト（英: quasi-compact）、準コンパクトでハウスドルフの分離公理を満たすものをコンパクトと定義することもある。これは現代でも代数幾何学においては慣習的にそうである。
概要
動機

R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の有界閉集合Xは位相空間として「性質が良く」、例えば以下が成立する事が知られている：

Xから R {\displaystyle \mathbb {R} } への連続写像は必ず最大値・最小値を持つ

Xから R {\displaystyle \mathbb {R} } への連続写像は必ず一様連続である

Xから R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} への単射fが連続なら、逆写像 f − 1   :   f ( X ) → X {\displaystyle f^{-1}~:~f(X)\to X} も連続である。

このような「性質の良い」空間を一般の位相空間に拡張して定義したものがコンパクトの概念である。

ただし、「 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の有界閉集合」という概念自身は、「有界」という距離に依存した概念に基づいているため、一般の位相空間では定義できず、別の角度からコンパクトの概念を定義する必要がある。

そのために用いるのがボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理とハイネ・ボレルの被覆定理である。これらの定理はいずれも「 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の有界閉集合であれば◯◯」という形の定理であるが、実は逆も成立する事が知られており、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} においては
有界閉集合である事

ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理の結論部分

ハイネ・ボレルの定理の結論部分

の３つは同値となる。しかも上記の２，３はいずれも位相構造のみを使って記述可能である。

したがって２もしくは３の一方を満たす（同値なので実は２，３の両方を満たす）事をもってコンパクト性を定義する。ただしテクニカルな理由により、上記の２に関しては若干の補正が必要になるが、これについては後述する。
２種類の同値な定義

コンパクトの概念は以下に述べる同値な２性質の少なくとも一方（したがって両方）を満たす事により定義される。
ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性による定式化

１つ目の性質は(有向点族に対する)ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性といい、これは R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の有界閉集合に対するボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理の結論部分を若干拡張した形で定式化したものである。この性質は直観的には点列の拡張概念である有向点族の極限が発散する事がない事を意味する。

コンパクトな空間では有向点族がXの「外」に「発散」する事がないので、X内で「収束」するか「振動」するかのいずれかとなる[注 1]。よって任意の有向点族には収束する部分列が取れるはずであり、厳密にはこの事実を持ってコンパクト性を定義する。

コンパクトな空間は「Xの外に発散する有向点族がない」という意味において、閉集合よりもさらに「閉じた」空間だと言え、実際ハウスドルフ空間においてはコンパクトな部分集合は必ず閉集合になる事が知られている。こうした事情から、コンパクトな空間には「閉」という接頭辞をつけて呼ぶ事があり、例えばコンパクトな多様体は「閉多様体」と呼ばれる[注 2]。
ハイネ・ボレル性による定式化

コンパクトを特徴づける２つ目の性質（前述のようにこれはボルツァーノ・ワイエルシュトラス性と同値）はハイネ・ボレル性といい、これは R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の有界閉集合に対するハイネ・ボレルの被覆定理の結論部分に相当する性質である。

ハイネ・ボレル性は非常に抽象的な性質なので、その詳細は後の章に譲るが、コンパクトな空間に対する定理を証明する際、無限に伴う証明の困難さを回避するのにこの性質を用いる事ができる。なお、学部レベルの教科書ではハイネ・ボレル性の方をコンパクトの定義として採用しているものが多い。
距離空間における特徴づけ

Xが距離空間（もしくはさらに一般的に一様空間）であれば、上記２つのいずれとも異なる角度からコンパクト性を特徴づける事ができる。距離空間Xがコンパクトである必要十分条件はXが全有界かつ完備である事である。ここで全有界性とは、有界性を強めた条件で、任意のε>0に対し、Xが有限個のε-球の和集合で書ける事を意味する。また完備性はX上のコーシー列が必ず収束する事を意味する。

距離空間においてコンパクトの概念は、点列コンパクト性と呼ばれる性質とも同値になる。これは前述したボルツァーノ・ワイエルシュトラス性が点列に対して成立するという趣旨の概念である。この概念は一般にはコンパクト性よりも弱いが、距離空間であればコンパクト性と同値になる事が知られている。
ベクトル空間における特徴づけ

R {\displaystyle \mathbb {R} } もしくは C {\displaystyle \mathbb {C} } 上の有限次元ベクトル空間（あるいはより一般に有限次元の完備リーマン多様体）の部分集合Xがコンパクトである必要十分条件は、Xが有界閉集合である事である。