「タンジェント」はこの項目へ転送されています。バンドについては「タンジェント (バンド)」をご覧ください。

「三角数」とは異なります。

三角関数（さんかくかんすう、英: trigonometric function）とは、平面三角法における、角の大きさと線分の長さの関係を記述する関数の族および、それらを拡張して得られる関数の総称である。鋭角を扱う場合、三角関数の値は対応する直角三角形の二辺の長さの比であり、三角関数は三角比とも呼ばれる。三角法に由来する三角関数という呼び名のほかに、後述する単位円を用いた定義に由来する円関数（えんかんすう、英: circular function）という呼び名がある。

三角関数には以下の6つがある。

sin（正弦、sine）

sec（正割、secant）

tan（正接、tangent）

cos（余弦、cosine）

csc（余割、cosecant）

cot（余接、cotangent）

特に sin, cos は幾何学的にも解析学的にも良い性質を持っているので、様々な分野で用いられる。例えば波や電気信号などは正弦関数と余弦関数を組み合わせることで表現することができる。この事実はフーリエ級数およびフーリエ変換の理論として知られ、音声などの信号の合成や解析の手段として利用されている。他にもベクトルの外積や内積は正弦関数および余弦関数を用いて表すことができ、ベクトルを図形に対応づけることができる。初等的には、三角関数は実数を変数とする一変数関数として定義される。三角関数の変数の対応するものとしては、図形のなす角度や、物体の回転角、波や信号のような周期的なものに対する位相などが挙げられる。

三角関数に用いられる独特な記法として、三角関数の累乗と逆関数に関するものがある。通常、関数 f (x) の累乗は (f (x))2 = f (x)・f (x) や (f (x))−1 = 1 / f (x) のように書くが、三角関数の累乗は sin2x のように書かれることが多い。逆関数については通常の記法 (f −1(x)) と同じく、sin−1x などと表す（この文脈では従って、三角関数の逆数は分数を用いて 1/sin x のように、あるいは (sin x)−1 などと表される）。文献あるいは著者によっては、通常の記法と三角関数に対する特殊な記法との混同を避けるため、三角関数の累乗を通常の関数と同様にすることがある。また、三角関数の逆関数として −1 と添え字する代わりに関数の頭に arc とつけることがある（たとえば sin の逆関数として sin−1 の代わりに arcsin を用いる）。

三角関数に似た性質を持つ関数として、指数関数や双曲線関数、ベッセル関数などがある。また、三角関数を利用して定義される関数としてしばしば応用されるものにsinc関数がある。目次

1 定義

1.1 直角三角形による定義

1.2 単位円による定義

1.3 級数による定義

1.4 微分方程式による定義

1.5 他の定義


2 三角関数の性質

2.1 周期性

2.2 相互関係

2.2.1 基本相互関係

2.2.2 負角・余角・補角公式


2.3 加法定理

2.4 証明

2.4.1 ピタゴラスの基本三角公式

2.4.2 負角

2.4.3 加法定理



3 微積分

3.1 (sin x)/x の x → 0 における極限


4 無限乗積展開

5 部分分数展開

6 逆三角関数

7 複素関数としての三角関数

8 球面三角法

9 出典

10 参考文献

11 関連項目

12 外部リンク

定義
直角三角形による定義 ∠C を直角とする直角三角形ABC

直角三角形において、1 つの鋭角の大きさが決まれば、三角形の内角の和は 180°であることから他の 1 つの鋭角の大きさも決まり、3 辺の比も決まる。ゆえに、角度に対して辺比の値を与える関数を考えることができる。

∠C を直角とする直角三角形 ABC において、それぞれの辺の長さを AB = h, BC = a, CA = b と表す（図を参照）。∠A = θ に対して三角形の辺の比 h : a : b が決まることから、 sin ⁡ θ = a / h sec ⁡ θ = h / b = 1 / cos ⁡ θ tan ⁡ θ = a / b = sin ⁡ θ / cos ⁡ θ cos ⁡ θ = b / h cosec ⁡ θ = csc ⁡ θ = h / a = 1 / sin ⁡ θ cot ⁡ θ = b / a = 1 / tan ⁡ θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &={a}/{h}\\\sec \theta &={h}/{b}={1}/{\cos \theta }\\\tan \theta &={a}/{b}={\sin \theta }/{\cos \theta }\\\cos \theta &={b}/{h}\\\operatorname {cosec} \theta &=\csc \theta ={h}/{a}={1}/{\sin \theta }\\\cot \theta &={b}/{a}={1}/{\tan \theta }\end{aligned}}}

という 6 つの値が定まる。それぞれ正弦（sine; サイン）、正割（secant; セカント）、正接（tangent; タンジェント）、余弦（cosine; コサイン）、余割（cosecant; コセカント）、余接（cotangent; コタンジェント）と呼び、まとめて三角比と呼ばれる。ただし cosec は長いので csc と略記することも多い。ある角 ∠A に対する余弦、余割、余接はその角 ∠A の余角 (co-angle) に対する正弦、正割、正接として定義される。 cos ⁡ θ = sin ⁡ ( 90 ∘ − θ ) = sin ⁡ ( π / 2 − θ ) csc ⁡ θ = sec ⁡ ( 90 ∘ − θ ) = sec ⁡ ( π / 2 − θ ) cot ⁡ θ = tan ⁡ ( 90 ∘ − θ ) = tan ⁡ ( π / 2 − θ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta &=\sin \left(90^{\circ }-\theta \right)=\sin(\pi /2-\theta )\\\csc \theta &=\sec \left(90^{\circ }-\theta \right)=\sec(\pi /2-\theta )\\\cot \theta &=\tan \left(90^{\circ }-\theta \right)=\tan(\pi /2-\theta )\end{aligned}}}